Esta charla trata acerca de la geometría de la distribución (2,3,5) de Cartan. Esto es, distribuciones de rango 2 (en una 5-variedad) que generan, vía el corchete de Lie, todo el fibrado tangente de la variedad, en dos pasos: el primer corchete genera una distribución de rango 3 y tomándolo una vez más, se genera todo él.
A diferencia de las distribuciones integrables cuyo grupo de simetrías es infinito-dimensional, Cartan descubrió -a principios del siglo XX- que tales distribuciones tienen un grupo de simetrías cuya dimensión nunca excede 14 y, más aún, que dicha dimensión se alcanza en un único (aún localmente) ejemplo cuyo grupo de simetrías es el grupo simple, no compacto, excepcional G2.
Hace un par de años, descubrimos un modelo nuevo, sencillo, para este objeto. Y a través de él, una relación entre la geometría de esta distribución y la geometría proyectiva clásica. Usándolo, recientemente (en colaboración con Gil Bor (Cimat)) hemos dado una caracterización de ciertas curvas integrales "especiales" de la distribución, en términos de polígonos proyectivos que satisfacen propiedades definidas por cantidades y relaciones clásicas como incidencia, razón cruzada, etc.
Si el tiempo lo permite, daré un recorrido entre algunos de los distintos modelos que se conocen de la distribución de Cartan, los difeomorfismos que las relacionan, y cómo las distintas geometrías entre ellos se relacionan. A través de estas equivalencias uno puede, entonces, construir ciclos cerrados integrales para la distribución y exhibirlos como un par de polígonos en RP2 que satisfacen ciertas propiedades.
© Luis Hernández Lamoneda.