GRUPOS
DE LIE
(4º MATEMÁTICAS, segundo cuatrimestre)
Antiguo Plan de estudios
Guía
del curso
Apuntes
Programa
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1.- Grupos de Lie
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Definiciones
básicas y primeros ejemplos. Grupos de matrices. Producto
directo y semidirecto.
Propiedades topológicas
de los grupos de Lie. Componentes conexas.
Relación de equivalencia asociada a un subgrupo. Espacios
cociente..
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| 2.- Álgebras de Lie. |
Definición y primeros ejemplos. El
álgebra de Lie asociada a un grupo de Lie: campos de vectores
invariantes.Cálculo de ejemplos. Constantes de estructura.
Morfismos de álgebras de Lie. Morfismo inducido por un morfismo
de grupos de Lie.
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| 3.- La aplicación exponencial |
La exponencial de matrices. Propiedades.
Curvas
integrales de campos de
vectores completos. Campos de vectores invariantes en GL(n,\R) La
aplicación exponencial de un grupo de Lie. Propiedades.
Diferencial de
la exponencial. la representación adjunta de un grupo de Lie y
de un
álgebra de Lie. Aplicaciones.
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| 4.- Subgrupos de Lie. |
Subvariedades inmersas, embebidas y
débilmente embebidas. Definición y
ejemplos. Subgrupos cerrados. Subálgebras de Lie. El teorema de
Cartan.
Coordenadas canónicas de primeira y segunda especie.
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| 5.- El teorema de Frobenius. |
Flujo de un campo de vectores sen
singularidades, existencia de cartas adaptadas, campos de
líneas.
Distribuciones. Subvariedades integrales. Distribuciones involutivas.
Cartas adaptadas. Demostración del teorema de Frobenius.
Correspondencia entre subálgebras de Lie y subgrupos de Lie
conexos.
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| 6.- Espacios homogéneos |
Subgrupos cerrados: estructura
diferenciable del
cociente. Propiedades.
Acciones de grupos de Lie sobre variedades. Órbitas. Subgrupos
de
isotropía. Espacios homogéneos. Ejemplos.
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| 7.- Cubiertas. |
Nociones de homotopía y grupo
fundamental. Cubiertas. Propiedades de
levantamiento. Cubierta universal. Grupos de Lie simplemente conexos.
Subgrupos discretos centrales. Estructura de grupo de Lie de las
cubiertas. Clasificación de los grupos de Lie asociados a un
álgebra de
Lie.
Correspondencia entre morfismos de álgebras de Lie y de grupos
de Lie. |
Bibliografía
1. Bourbaki, Nicolas: Lie groups and Lie algebras. Chapters 1--3.
(English). Elements of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin-New York,
1989. xviii+450 pp. (hai versión francesa)
2. Carter, R.; Segal, G.; MacDonald, I. : Lectures on Lie groups and
Lie algebras. Student Texts 32, London Mathematical Society, 1995.
3. Chevalley, Claude : Theory of Lie groups. I. Princeton University
Press, Princeton, N. J., 1946, 1957. xi+217 pp.
4. Helgason, Sigurdur: Differential geometry, Lie groups, and
symmetric spaces. Pure and Applied Mathematics, 80. Academic Press,
Inc., New York-London, 1978. xv+628 pp.
5. Mneimné, Rached; Testard, Frédéric : Introduction a la theorie des
groupes de Lie classiques. Collection Méthodes. Hermann, Paris, 1986.
vi+346 pp.
6. Postnikov, M.: Lie groups and Lie algebras. Lectures in geometry.
Semester V. Ed.` Mir', Moscow, 1986. 440 pp (hai versión francesa)
7. Shapukov, B. N. Grupos y álgebras de Lie en ejercicios y problemas.
Editorial URSS. Moscú 2001.
8. Varadarajan, V. S.: Lie groups, Lie algebras, and their
representations. Graduate Texts in Mathematics, 102. Springer-Verlag,
New York-Berlin, 1984. xiii+430 pp.
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