• Área de concentração do CNPq: 1.01.03.00-7
• Palavras chaves: Mecânica Analítica, Geometria Simplética, Geometria de Poisson, Vínculos, Aplicações da geometria sub-riemanniana, Conexões não holônomas, Fibrados dos jatos.

Pode-se dizer que a Mecânica Moderna tem sua origem nos trabalhos de H. Poincaré (1854-1912), A. Lyapounov (1857-1918), É. Cartan (1869-1951) e G. D. Birkhoff (1884-1944), uma vez que os movimentos de um sistema mecânico são descritos como soluções de campos de vetores sobre o fibrado tangente, resp. cotangente, à variedade das configurações do sistema mecânico considerado. Em particular, o livro de Cartan, Leçons sur la téorie des invariants intégraux, tornou-se uma referência clássica na literatura por causa da formulação intrínseca das equações dinâmicas.O método descrito por Cartan deu uma contribuição fundamental ao formalismo hamiltoniano, identificando, por exemplo, o problema variacional dado por uma integral de uma função lagrangiana com um problema variacional dado por uma integral de uma apropriada 1-forma.

Com o desenvolvimento da teoria das variedades diferenciáveis, e das estruturas geométricas subjacentes, em particular da geometria simplética, as idéias cartanianas se consolidaram e não somente permitiram uma apresentação da teoria mecânica livre dos seus aspectos locais, como também uma melhor compreensão do seu conteúdo analítico (mecânica de Lagrange e de Hamilton, por exemplo).

Assim, o tratamento geométrico mostra como a formulação hamiltoniana (resp. lagrangiana) da mecânica pode ser desenvolvido por estruturas naturalmente de definidas no fibrado cotangente T*M (resp. tangente TM ) de uma variedade M de dimensão finita. As equações de Hamilton (resp. Lagrange) são interpretadas como um sistema de equações diferenciais, cujas soluções são dadas por soluções integrais de campos de vetores definidos no fibrado cotangente (resp.tangente) de M .Estas equações são expressas de forma global uma vez que, no caso hamiltoniano, T*M está naturalmente munido de uma estrutura simplética.

A moderna mecânica analítica desenvolve-se, portanto, através destes formalismos subjacentes aos fibrados acima mencionados, ditos, respectivamente, contravariante ou lagrangiano e covariante ou hamiltoniano, e a construção destes campos de vetores repousa naturalmente sobre certos tipos de estruturas geométricas associadas a estes fibrados, relacionadas à geometria das estruturas simpléticas, e de noções que lhes são inerentes. Este formalismo moderno pode então ser considerado como um tópico da Geometria Simplética e não nos parece ser um exagêro denominá-lo também de Mecânica Simplética .

Com respeito a formulação intrínseca da dinâmica lagrangiana, dual a teoria hamiltoniana, tem-se pelo menos dois tratamentos geométricos distintos, já que não existe uma forma simplética natural no fibrado tangente TM. Um deles trata de transferir a estrutura simplética canônica do T*M para TM via uma transformação dita de Legendre. No entanto, a forma transferida pode ou não ser simplética, ou seja, este dualismo é afetado se, por exemplo, a forma obtida for uma bilinear anti-simétrica de posto constante mas não maximal. Neste caso necessita-se determinar condições para que se tenha (ao menos localmente) em TM uma função geradora das equações de Euler-Lagrange. Portanto, a dualidade ocorre se pelo menos a transformação for um difeomorfismo simplético local, pois então pode-se definir uma função lagrangiana e, consequentemente, desenvolver-se a teoria lagrangiana.

É natural, portanto, buscar-se uma formulação geométrica alternativa e intrínseca aoTM, independente da teoria hamiltoniana. Este estudo foi iniciado por J.Klein nos anos 60, inspirado nos trabalhos de F.Gallissot (ver os ultimos capitulos do livro de C.Godbillon, Géométrie Différentielle et Mécanique Analytique, Herman,1969).

Mostrou-se que a estrutura geométrica adequada a este tipo de mecânica é a denominada estrutura quase-tangente de uma variedade (um tensor do tipo (1,1) verificando algumas propriedades), introduzida por Clark & Bruckheimer, Clark & Goel, também nos anos 60 .

Outro tópico que tem interessado vários pesquisadores é o das estruturas de Poisson , que generalizam a estrutura simplética. Estas estruturas são importantes, por exemplo, no estudo de certos sistemas mecânicos definidos em variedades não necessariamente simpléticas. Além do próprio Poisson, autores como S. Lie, É. Cartan e P. A. M. Dirac, trabalharam intensivamente no assunto, em diferentes direções. Dirac, por exemplo, mostrou como tratar a dinâmica hamiltoniana vinculada a uma subvariedade de uma variedade simplética, e deu uma contribuição fundamental ao mostrar que tais parênteses são o meio adequado de aproximar a mecânica clássica com a mecânica quântica. A abordagem geométrica dessas estruturas teve inicio nos trabalhos de Lichnerowicz e outros (para uma amostra da continua atividade de pesquisa no assunto, ver o livro de I. Vaisman, Lectures on the geometry of Poisson manifolds, Birkhäuser,1994).

A teoria dos sistemas mecânicos pode ser generalizada no contexto das variedades diferenciáveis modeladas em fibrados de jatos de Ehresmann, o que permite colocar dentro de um esquema análogo ao da mecânica analítica outros sistemas, como por exemplo a mecânica do contínuo e a teoria classica de campos da física, intervindo de modo essencial novas estruturas. Portanto, a linha de pesquisa em Mecânica Geométrica se propõe a estudar de maneira sistemática a geometria diferencial das estruturas geométricas subjacentes aos fibrados tangentes, cotangentes, e extensões, tendo em vista fundamentar por um lado, a formulação analítica da mecânica, e por outro teorias generalizadas que possam ser colocadas no âmbito da geometria diferencial, pondo em evidência suas formulações intrínseca e global sem perder de vista a interrelação das partes geométricas e dos objetos de conteúdo físico que lhes deram nascimento. 

Paulo Rodrigues