Topoloxía de Superficies



   As superficies


Unha superficie é un espazo toplóxico Hausdorff tal que cada punto ten unha veciñanza aberta homeomorfa a un aberto do plano euclidiano (é decir, localmente é como un plano).


superficies

Unha superficie non se define como un subespazo dun espazo euclidiano, pero por un resultado coñecido (o teorema do encaixamento de Whitney) cada superficie pode ser considerada un subespazo do espazo euclidiano R4, aínda que moitos exemplos aparecen como as fronteiras de obxectos sólidos dentro do espazo euclidiano R3.

   Obxectivos da materia

  1. Introducir o grupo fundamental.
  2.  
  3. Clasificar as superficies compactas.
  4.  
  5. Coñecer as técnicas que se usan en varios métodos de clasificación.
  6.  
  7. Manexar esas técnicas para resolver problemas sobre superficies.
  8.  
   Contidos



  1. Homotopía: Homotopía. Aplicacións homótopas. Deformación. Contracción. Espazos contráctiles. Retractos por deformación. Equivalencia de homotopía. Espazos homotopicamente equivalentes. Propiedades de homotopía.

  2. O grupo fundamental: Homotopía de camiños. Camiños homótopos. Lazos. Grupo fundamental dun espazo topolóxico. Espazos simplemente conexos. Teoremas de levantamento. Cálculo do grupo fundamental de S1. Teorema de Seifert-Van Kampen.

  3. Superficies: Superficies. Superficies con borde. Suma conexa de dúas superficies. Representación plana dunha superficie compacta. Triangulación de superficies compactas.

  4. Clasificación das superficies compactas: Teorema de clasificación, primeira parte: redución das representacións poligonais ás formas canónicas. Teorema de clasificación, segunda parte: grupos fundamentais das superficies compactas. Orientabilidade. Característica de Euler.

  5. Funcións de Morse sobre as superficies: Superficies diferenciables. Valores regulares. Puntos críticos. Funcións de Morse sobre unha superficie. Funcións de Morse e clasificación das superficies.


esfera




   Bibliografía básica e complementaria


  • Armstrong, M.A., Topología Básica. Editorial Reverté S.A., Barcelona.
  •  
  • Gramain, A., Topologie des Surfaces. Presses Universitaires de France, Paris, 1971.
  •  
  • Griffiths, H.B., Surfaces. Cambridge University Press, 1976.
  •  
  • Henle, M., A combinatorial Introduction to Topology. W.H. Freeman and Co., San Francisco, 1975.
  •  
  • Hu, S.T., Elements of General Topology. Holden-Day Inc., San Francisco, 1967.
  •  
  • Katok, A.; Climenhaga, V., Lectures on Surfaces. American Mathematical Society, Rhode Island, 2008.
  •  
  • Kinsey, L.C., Topology of Surfaces. Springer-Verlag, Berlin, 1993.
  •  
  • Kosniowski, C., Topología Algebraica. Editorial Reverté S.A., Barcelona, 1986.
  •  
  • Kosniowski, C., Topología algebraica. Reverté. Barcelona, 1989.
  •  
  • Lehman, D.; Sacré, C., Géométrie et Topologie des Surfaces. Presses Universitaires de France, Paris, 1982.
  •  
  • Massey, W.S., Introducción a la Topología Algebraica. Editorial Reverté S.A., Barcelona, 1967.
  •  
  • Munkres, J.R., Topología. Prentice-Hall, Madrid, 2002.

   Competencias


  1. Seguir os pasos dos métodos de clasificación en exemplos concretos.
  2.  
  3. Distinguir superficies usando os invariantes topolóxicos que se introducen.
  4.  
  5. Resolver problemas diversos sobre superficies coas técnicas introducidas.
  6.  
  7. Desenvolver a habilidade de visualizar ideas sobre superficies.
  8.  
   Datos do profesor


Profesor  
Departamento Xeometría e Topoloxía
Facultade Matemáticas