Variedades diferenciables



   A materia


Os obxectos básicos da Xeometría Diferencial moderna son as variedades diferenciables; estas son espazos que se comportan localmente como os espazos euclidianos e posúen unha estrutura adicional que permite o desenvolvemento dos conceptos elementais do cálculo.
Nesta materia exporanse as nocións básicas da teoría das variedades diferenciables, e coñeceranse os fundamentos, métodos e finalidade da Xeometría Diferencial no contexto das variedades. Introduciranse as nocións de variedade e subvariedade, destacando o punto de vista global e, por outra parte, aprenderase a traballar con coordenadas, consideraranse os campos de vectores e as formas diferenciais en variedades, definirase a diferencial exterior de formas diferenciais e estudarase o cálculo integral de formas en variedades diferenciables,  probando unha versión xeral do teorema de Stokes e mostrando algunhas aplicacións e casos particulares clásicos como o teorema de Green, o teorema da diverxencia de Gauss e o teorema de Stokes do cálculo.




   Obxectivos

  1. Comprender os conceptos básicos da xeometría diferencial no contexto xeral das variedades diferenciables.
  2.  
  3. Trasladar ás variedades as destrezas adquiridas no cálculo diferencial, exterior e integral dos modelos locais, os espazos euclidianos.
  4.  
  5. Recoñecer a teoría de variedades como unha xeneralización da teoría de curvas e superficies así como do cálculo diferencial e integral nos espazos euclidianos.
  6.  
  7. Apreciar o poder da xeneralización e a abstracción no desenvolvemento das teorías matemáticas.
  8.  
   Contidos



  1. Variedades diferenciables. Aplicacións diferenciables entre variedades.

  2. O espazo vectorial tanxente. Aplicación lineal tanxente.

  3. Subvariedades regulares.

  4. Campos de vectores sobre unha variedade diferenciable. Curvas integrais.

  5. Formas diferenciais. A diferencial exterior.

  6. Orientacións nas variedades diferenciables.

  7. Integración de formas en variedades. Teorema de Stokes. Aplicacións.


esfera




   Bibliografía básica e complementaria


  • BERGER, M.; GOSTIAUX, B., Differential Geometry: Manifolds, Curves, and Surfaces.
    Springer, Berlin, 1988.

  • BRICKELL, F.; CLARK, R.S, Differentiable Manifolds.
    Van Nostrand, London, 1970.

  • BOOTHBY, W.M., An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry.
    Academic Press, New York, 1986.

  • CONLON, L., Differentiable Manifolds. A first Course.
    Birkhäuser, Boston, 2001.

  • GAMBOA, J.M.; RUIZ, J.M, Introducción al estudio de las Variedades Diferenciables.
    Editorial Sanz y Torres, Madrid, 2016.

  • LEE, J.M., Introduction to Smooth Manifolds.
    Springer, Berlin, 2013.

  • MATSUSHIMA, Y., Differentiable Manifolds.
    Marcel Dekker, New York, 1972.

  • TU, L.W., An Introduction to Manifolds.
    Springer, New York, 2008.

  • WARNER, F.W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups.
    Springer, Berlin, 1983.



   Metodoloxía da ensinanza


Para presentar os aspectos máis destacados da materia haberá unha explicación teórica por parte do profesor, que se complementará suxerindo e resolvendo cuestións e problemas. Promoverase a discusión por parte dos estudantes de exemplos ilustrativos e dos exercicios propostos. Tratarase de facer un seguimento dos contidos traballados nas clases, discutir cuestións concretas e resolver as dúbidas que podan presentarse.





  Sistema de avaliación da aprendizaxe


Haberá avaliación continua, por medio de traballos e exercicios entregados. Haberá tamén un exame final, que conterá preguntas de teoría, cuestións teórico-prácticas e exercicios. A cualificación final será o máximo da nota obtida no exame final e a media de dita nota e a da avaliación continua.



   Datos do profesor e Horario de titorías


Profesor  
Área Xeometría e Topoloxía
Facultade Matemáticas
Titorías Luns de 17:30 a 19:30;
Martes e Xoves de 12:00 a 14:00