PROGRAMA DE TEORIA GLOBAL DE SUPERFICIES

PROFESOR/ES:
BONOME DOPICO, AGUSTIN
HERVELLA TORRON, LUIS MARIA
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO
VAZQUEZ ABAL, ELENA



OBXECTIVOS

Estudio de campos de vectores. Estudio dos conceptos de desplazamento paralelo e xeodésica. Estudio de propiedades e teoremas de xeometría diferencial global de superficies, incluindo orientabilidade, o teorema de Gauss-Bonnet e o teorema da rixidez da esfera.

PROGRAMA

1. Campos de vectores
· Campos de vectores nun aberto do espacio euclidiano. Campos de vectores ó longo dunha curva.
· Campos de vectores tanxentes a unha superficie regular.
2. Orientabilidade
· Campos de vectores normais. Atlas orientados. Caracterización da orientabilidade das superficies regulares mediante campos normais.
3. Integración
· Integración ó longo de camiños. Integración en superficies. Teoremas de Green, Stokes e Gauss.
4. Desplazamento paralelo e xeodésicas
· Derivación covariante de campos de vectores sobre un aberto dunha superficie. Derivada covariante ó longo dunha curva sobre unha superficie.
· Campos de vectores paralelos. Desplazamento paralelo dun vector tanxente ó longo dunha curva.
· Xeodésicas. Curvatura xeodésica. Fórmula de Liouville.
5. Teorema de Gauss Bonnet.
· Triangulacións e característica de Euler-Poincaré.
· Fórmula local de Gauss-Bonnet. Teorema global de Gauss-Bonnet. Aplicacións.
6. A aplicación exponencial
· Aplicación exponencial. Coordenadas normais e coordenadas polares xeodésicas. Lema de Gauss. Carácter minimizante local das xeodésicas.
· Estructura métrica dunha superficie regular.
7. Superficies compactas en R3. A rixidez da esfera.
· Lema de Hilbert. Teorema de Liebmann. Rixidez da esfera.
8. Complementos
· Superficies abstractas. Superficies regulares (ou embebidas) nun espacio euclidiano.
· Esbozo da xeometría riemanniana sobre unha superficie abstracta.
· Superficies completas. Teorema de Hopf-Rinow.


BIBLIOGRAFÍA


APOSTOL, T.M. Calculus, vol. 2. Blaisdell Pub. Company, 1967. (versión castelán, Edit.Reverté, 1973).
DO CARMO, M.P. Differential Geometry of curves and surfaces. Prentice Hall. Englewood Cliffs, 1976. (versión castelán, Alianza Editorial, 1990).
GRAY, A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. CRC Press, 1998.
KLINGENBERG, W. A Course in Differential Geometry. Springer-Verlag, GTM 51, 1978. (versión en castelán, Edit. Alhambra, 1973).
LEHMAN, D. E SACRÉ, C. Géométrie et Topologie des Surfaces . Presses Universitaires de France, Paris, 1982.
MARSDEN, J.E. E TROMBA, A.J. Vector Calculus. Freeman & Co, 1976. (versión castelán, Fondo Educ. Int.,1981).
MONTIEL, S. E ROS, A. Curvas y superficies . Proyecto Sur de Ediciones, Granada, 1997
O|NEILL, B. ELEMENTARY DIFFERENTIAL GEOMETRY . ACADEMIC PRESS, 1966. (VERSIÓN CASTELÁN, LIMUSA-WILEY, 1972).