G

U

Í

A

S

Interior, adherencia e fronteira dun conxunto

Sexa X un espazo, E un subconxunto de X. Para un punto x de X pode ocorrer x∈E ou x∉E. Desde un punto de vista topolóxico tamén é importante saber cal das tres seguintes posibilidades, excluíntes entre si, ten lugar:

a) Existe unha bóla de centro x completamente contida en E, ou sexa,

c) Non ocorre nen a) nen b), ou sexa,

Os puntos que verifican a condición a) pertencen, obviamente, ao conxunto E. Denomínanse puntos interiores de E.

Exercicio 1.- Pon exemplos de conxuntos en R² que conteñan puntos que non sexan interiores.

Dado un conxunto E, o conxunto de todos os puntos interiores de E denomínase interior de E, e denótase por Int(E),

Int(E)={x∈E|∃ r>0, B_X(x,r)⊂E}.

Exercicio 2.-
1) Demostra que se U é un conxunto aberto e U⊂E, entón U⊂Int(E).
2) Demostra que Int(E) é un conxunto aberto.
3) Demostra que Int(E) é a unión de todos os conxuntos abertos contidos en E.

Dedúcese que o interior dun conxunto é o maior conxunto aberto contido nel.

Os puntos que verifican a condición b) chámanse puntos exteriores e o conxunto destes puntos forman o exterior de E, Ext(E).

Observade que, pola propia definición, tense

Ext(E)=Int(X-E).