Prof. Xosé M. Masa Vázquez

G

U

Í

A

S

 

  

 

Punto de acumulación

O punto de acumulación é, posiblemente, o concepto instrumental máis útil deste curso. Nesta guía de estudo, que se circunscribe ao tema de Converxencia, ademais de recoller as definicións e principais propiedades, tal como aparecen nos apartados 2.6, 2.7, 2.8 e 2.11 do Manual, discútense algunhas propiedades adicionais, que facilitan o seu uso e comprensión, propóñense algunhas cuestións ou exercicios e analízanse algúns exemplos.

Definición.- Chámase punto de acumulación dun conxunto E a un punto x tal que para todo r>0 se cumpre


O conxunto de puntos de acumulación de E denomínase conxunto derivado, e se denota por E'.

Demostra esta propiedade sinxela dos conxuntos derivados, para empezar a practicar:

se A⊂B, daquela A'⊂B'.

Unha pregunta: se x∈E, necesariamente x é punto de acumulación de E?

Exercicio 1. Calcula os conxuntos derivados dos seguintes subconxuntos de R:

  a) o intervalo aberto (0,1);
  b) o conxunto Z dos números enteiros;
  c) o conxunto {0}∪{1/n, n∈N};
  d) o conxunto Q dos números racionais.