Sexa {x_n} unha sucesión en S. Trátase de probar que existe unha subsucesión que converxe a un punto de S.

Se todos os puntos da sucesión estiveran contidos nun número finito de circunferencias, ao estaren nun subconxunto compacto, habería unha subsucesión que converxería a un punto dese conxunto. Podemos supor, pois, que hai puntos da sucesión en conxuntos S_m, con m tan grande como se queira. Formariamos unha subsucesión con termos en conxuntos S_m, con m crecente. Como os diámetros destes S_m tenden a cero, a subsucesión converxería a 0.