1) O subconxunto X-{0} é aberto. A función h restrinxida a este conxunto é continua, pois é combinada de continuas con dominios abertos, os subconxuntos X_m-{0}. Se {(x_n,y_n)} converxe a cero, a sucesión imaxe tamén: se é (x_n',y_n')=h(x_n,y_n), resulta ser 0≤x_n'≤x_n e 0≤y_n'≤y_n.

2) Sexa 0<x≤1. A sucesión {(x,x/n)} está en X e converxe a (x,0). Así, X é denso en Z.

3) Verifiquemos que Z é pechado, utilizando converxencia de sucesións. Sexa {(x_n,y_n)} unha sucesión en Z, converxente a un punto (x₀,y₀). Trátase de concluír que (x₀,y₀) pertence a Z. Se a sucesión está contida nunha unión finita de conxuntos X_m, digamos A=X_m1∪...∪X_mk, poidendo ser algún subíndice igual a 0, daquela (x₀,y₀) está en A, por ser A pechado.

Noutro caso construímos unha subsucesión {(x_nk,y_nk)} con cada termo pertencente a un X_m, e de xeito que a función de k en m así determinada sexa crecente. Entón a sucesión {y_nk} converxe a 0. Logo y₀=0. Como 0≤y_n≤x_n≤1, tamén 0≤x₀≤1.

4) É doado comprobar que h:X→Y é bixectiva. Agora, por ser a imaxe continua dun compacto, Y é compacto.