Conxunto derivado e converxencia

 

 

Nun exame recente propúñase a seguinte cuestión:

 

Sexa {x_n} unha sucesión de puntos en R^p. Sexa

                                  

o conxunto de puntos da sucesión. Sexa A' o conxunto derivado de A.

1.- Pode ser A' =Ø?

2.- Pode ter A' un único punto?

3.- Pode ter A' un número finito de puntos maior que 1?

 

Reprodúcense tres das respostas dadas, para a súa discusión:

 

 

RESPOSTA I

1.- A' pode ser igual ao baleiro, ten que ocorrer que a sucesión {x_n}  non converxa.

2.- A' terá un único punto se {x_n} é converxente, porque se existe límite é único.

 

 

RESPOSTA II

1.- A' non pode ser igual ao conxunto baleiro, porque se existe unha sucesión {x_n} de puntos de A, ésta terá que converxer a un punto de A.

2.- Seé a única sucesión que podemos construír no conxunto A, entón A' terá un único punto.

3.- Non, porque se  é unha subsucesión de {x_n}, a subsucesión  converxerá ao mesmo punto que {x_n}, por tanto, A' non pode ter un número finito de puntos maior que 1.

 

 

RESPOSTA III

1.- A' non pode ser igual ao conxunto baleiro, porque sabemos que todo conxunto infinito ten un punto de acumulación e a sucesión  está composta por un número infinito de elementos.