I. Se d(A,B) > r, tomade e = d(A,B) - r na condición de converxencia da sucesión {d(x_n,y_n)} e chegade a unha contradicción.

 

II. Supoñamos construidas as sucesións ate os termos n-ésimos. Supoñamos d(x_n,y_n)>r.

Sexa a_n = (d(x_n,y_n)-r)/2. Escollemos x_n+1 Î A e y_n+1 Î B de xeito que

d(x_n+1,y_n+1) ≤ r + a_n . Existen, pois do contrario sería r + a_n ≤ d(A,B).

 

III. Observa que os elementos de S e L son ortogonais entre si.