2.5 A converxencia permite caracterizar a topoloxía dos espacios que estamos a estudiar e, logo, calquera concepto ou propiedade que só dependa dela. Imos xustificar esta afirmación demostrando que permiten caracterizar os conxuntos pechados.

Antes de nada, ofreceremos unha maneira moi práctica e natural de construír sucesións converxentes. Convén enfatizar que, practicamente sempre, cada vez que necesitemos construír unha sucesión converxente imos recorrer a este método. De feito, condensa a idea clave para xeneralizar o concepto mesmo de converxencia a espacios máis abstractos.

Recordemos a propiedade de R de ser arquimediano: dado xÎR existe un enteiro natural N tal que x < N. Na proba do lema que segue, ímola utilizar para x = 1/r.

Lema.- Sexa x un punto de X. Tomemos para cada n ÎN un punto x_n da bola B_X(x,1/n). A sucesión {x_n} así formada converxe a x.