Teorema.-
Un conxunto E en X é pechado sse contén todos os
seus puntos de acumulación.
O
seguinte é un procedemento útil para saber se un punto é
de acumulación. Obsérvese que a condición no enunciado
a seguir de ser xn ≠ x para cada n se verifica automaticamente
se xÏE.
Proposición.-
Sexa E un subconxunto
de X. Un punto x é de acumulación de E sse existe unha sucesión
{xn} de puntos de E, todos diferentes de x, que converxe
a x.
Xa
que un conxunto é pechado sse contén todos os seus puntos de
acumulación, séguese a seguinte caracterización:
Teorema.-
Un subconxunto E de X é pechado sse o límite de toda
sucesión converxente de puntos de E está en E.