2.8

Definición.- Dise que unha sucesión {x_n} nun espacio X é unha sucesión de Cauchy se dado un número real positivo e existe un enteiro n₀ tal que se n,m≥ n₀, daquela d(x_n,x_m) < e.

Proposición.- Toda sucesión converxente é de Cauchy.

Lema.-O conxunto de puntos dunha sucesión de Cauchy é limitado.

Lema.- Toda subsucesión dunha sucesión de Cauchy é de Cauchy.

Proposición.- Sexa {x_n} unha sucesión de Cauchy en X. Se a sucesión ten unha subsucesión converxente, daquela ela mesma é converxente.

Proposición.- Sexa {x_n} unha sucesión en X. Se o conxunto formado polos puntos da sucesión ten un punto de acumulación, daquela existe unha subsucesión converxente a este punto.

Corolario.- Se o conxunto de puntos dunha sucesión de Cauchy ten un punto de acumulación, entón a sucesión converxe a este punto.