Teorema.-
Un conxunto compacto e conexo X en R
con máis dun punto é un intervalo pechado.
Corolario.-
Toda aplicación
real continua f con dominio un espacio compacto e conexo X, alcanza un valor
mínimo m, un valor máximo M e todo valor intermedio.
Corolario.- Toda aplicación continua dun intervalo
pechado en si mesmo ten un punto fixo.
Dous
puntos dunha circunferencia dinse antípodas se son extremos
dun mesmo diámetro. No caso dunha circunferencia de centro a orixe
os pares de puntos antípodas son da forma x,-x.
Corolario.-
Toda aplicación real continua dunha esfera aplica algún
par de puntos antípodas no mesmo punto imaxe.