Resumo do proxecto de investigación

As simetrías ou a forma dun obxecto determinan en grande medida as súas propiedades xeométricas. A miúdo ata sucede que estas determinan o obxecto de forma precisa, obtendo así resultados de rixidez que afirman que o devandito obxecto non pode ser deformado de maneira que se preserven as súas características. O obxectivo principal deste proxecto consiste en estudar propiedades xeométricas de certas variedades de Riemann e determinar ata que punto estas propiedades son características delas, permitindo xa que logo obter resultados de rixidez. A nosa investigación céntrase nos seguintes aspectos fundamentais.

En primeiro lugar estamos interesados naquelas variedades con alto grado de simetría, é dicir, aquelas nas que actúa un grupo de isometrías suficientemente grande. En particular centrámonos en variedades que admiten accións polares, e un dos nosos obxectivos principais será determinar todas as posibles accións polares nunha variedade dada. Ademais, tamén é importante caracterizar as órbitas destas accións, e para iso foron introducidos conceptos como os de subvariedades isoparamétricas, equifocales ou con curvaturas principais constantes. Estas subvariedades están definidas en función da súa curvatura extrínseca e a finalidade da nosa investigación será probar que estas propiedades aseguran a súa rixidez e probablemente a súa simetría, concluíndo así que deben de ser órbitas de accións polares.

En segundo lugar analizaremos a existencia de simetrías desde o punto de vista da curvatura da variedade. Tanto os espazos homoxéneos como os que presentan un baixo grado de cohomogeneidad permiten unha análise máis sinxela da curvatura e, por tanto, obter resultados de rixidez. Certos tipos de variedades de Riemann resultan interesantes desde o punto de vista xeométrico, por exemplo as variedades Einstein, quasi-Einstein, ou os solitóns de Ricci. Un dos nosos obxectivos de estudo é determinar cando este tipo de variedades poden realizarse como hipersuperficies ou subvariedades doutras con alto grado de simetría, por exemplo os espazos simétricos ou as variedades de Damek-Ricci.

En numerosas ocasións este estudo requirirá unha análise previa a nivel alxébrico e unha segunda etapa na que se decida sobre a existencia, ou non, das distintas posibilidades alxébricas. Relacionado con este problema, o terceiro eixe do proxecto centrarase na análise da realización xeométrica dos resultados obtidos a nivel alxébrico, a fin de poder decidir a existencia de variedades nas que se realicen os invariantes prefixados.