Resumo do proxecto de investigación

O obxectivo deste proxecto é investigar a simetría e a forma no contexto da xeometría riemanniana. A simetría en xeometría maniféstase a través das accións de grupos de isometrías, os cales teñen importancia non só nas matemáticas senón tamén en outras áreas da ciencia como a física. A forma é un concepto que xorde na xeometría a través da curvatura, ben sexa esta extrínseca, cando se considera xeometría de subvariedades, ou intrínseca, no contexto da variedades pseudo-riemannianas, as cales serven, de novo, para modelizar non só entes matemáticos senón tamén físicos.

O primeiro eixo deste proxecto está centrado en estudar a simetría en si. Máis concretamente, estaremos interesados na investigación de accións polares e os seus posibles casos particulares: accións hiperpolares ou accións de cohomoxeneidade un. Por un lado pretendemos clasificar accións polares en familias de variedades riemannianas e lorentzianas, e polo outro, empregar as simetrías dunha acción isométrica (xeralmente de cohomoxeneidade un) para simplificar os cálculos e construír coordenadas que permitan resolver problemas ou dar exemplos de novas configuracións.

En segundo lugar queremos desenvolver técnicas que permitan detectar a simetría dun obxecto, que no noso contexto se traduce na caracterización de subvariedades homoxéneas. Por esta razón investigaremos subvariedades isoparamétricas, isoespectrais e foliacións polares entre outras, tendo como finalidade comprobar se se corresponden con órbitas de accións isométricas ou non.

Finalmente, estudaremos as variedades riemannianas desde un punto de vista intrínseco, relacionando a curvatura, expresada de distintas formas mediante o tensor de Ricci, o tensor de Weyl, o tensor de Bach ou outros, con ecuacións diferenciais que teñen significado xeométrico ou físico. Prestaremos especial atención ás ecuacións de evolución xeométrica, xa que estas permiten establecer a existencia de variedades cun comportamento óptimo respecto a algunha propiedade prefixada. Máis concretamente estudaremos os solitóns destes fluxos, é dicir, as variedades para as que estes fluxos son puntos fixos. En particular estudaremos os solitóns de Ricci, puntos fixos do fluxo de Ricci, que foi instrumental para a solución da conxectura de Poincaré.