Prof. Xosé M. Masa Vázquez |
G
U
Í
A
S
x
B |
Puntos de acumulación e converxencia de sucesións. |
Proposición.- Sexa E un subconxunto de X. Un punto x é de acumulación de E sse existe unha sucesión {xn} de puntos de E, todos diferentes de x, que converxe a x.
Sexa F un conxunto tal que F'=∅. Imos probar a igualdade
E' = (E-F)'.
Supoñamos x∈E'. Sexa {xn}→x, xn∈E, todos os xn distintos de x. So un número finito de termos de {xn} pode estar en F, pois noutro caso estes formarían unha subsucesión e x pertencería a F'. Quitando de {xn} os termos contidos en F, teriamos unha subsucesión, aínda converxendo a x, con todos os puntos distintos de x, e contida en E-F.
Proposición.- Sexa {xn} unha sucesión en X. Se o conxunto formado polos puntos da sucesión ten un punto de acumulación, daquela existe unha subsucesión converxente a este punto.
Exercicio 2. Sexa {xn} unha sucesión converxendo a x0. Sexa E={xn, n∈N}∪{x0}. Calculade E'.