G

U

Í

A

S

x

O seguinte é un caso particular de conxunto aberto:

Lema.- Sexa x un punto de acumulación dun conxunto E. Entón toda bóla de centro x contén unha infinidade de puntos de E.

Iste é o Lema 3.11 da referencia principal. Unha consecuencia curiosa: sexa F un conxunto finito. Daquela, para calquera conxunto E, verifícase a igualdade

E' = (E-F)'

(Por E-F denótase o conxunto E∩(X-F), conxunto de puntos de E que non están en F). Usando o Lema, seguro que encontras un argumento breve para ver que se un punto é de acumulación para E, tamén o é para E-F.

Agora consideremos a cuestión xeral: sexa U un conxunto aberto e x∈U un punto de acumulación de E. Por ser U aberto, existirá nun r>0 tal que a bóla aberta B_X(x,r) estea completamente contida en U. Polo Lema, nesta bóla hai infinidade de puntos de E. Logo,

Como aplicación deste resultado, imos ver o seguinte:

Proposición.- O conxunto derivado E' é pechado.

Imos utilizar a caracterización de conxuntos pechados dada polos puntos de acumulación (Teorema 3.12). Así, imos probar a inclusión (E')'⊂E'.

Sexa x∈(E')', ou sexa, para todo r>0 verifícase

(B_X(x,r)-{x})∩E'≠∅.

Ou sexa que existe un punto y pertencente a E' e a B_X(x,r). Como B_X(x,r) é un conxunto aberto e y é un punto de acumulación de E, a bóla B_X(x,r) contén infinidade de puntos de E.Isto, para todo r>0. Logo x é punto de acumulación de E.