Seminario Vidal Abascal

O espazo proxectivo complexo ℂPⁿ, que parametriza as rectas complexas de ℂⁿ⁺¹, é un dos obxectos máis estudados da xeometría alxébrica e complexa. A primeira métrica de Einstein descuberta en ℂPⁿ foi a métrica de Fubini–Study, e en 1965 Berger preguntou se era a única. En 1982, Ziller construíu unha segunda métrica de Einstein homoxénea en dimensión complexa impar. A pregunta de Berger seguía aberta en dimensión complexa par, onde Fubini–Study era a única métrica de Einstein coñecida.

Xunto con Gonzalo Cao Labora (EPFL, Suíza), construímos novas métricas de Einstein en ℂPⁿ para n ∈ {3, 4, 5, 6, 7}. Son os primeiros exemplos non homoxéneos coñecidos e, xunto coas métricas de Fubini–Study e de Ziller, os únicos coñecidos ata o momento. A nosa construción resolve a pregunta de Berger nos casos n = 4 e n = 6, ata agora abertos.

A construción baséase nunha acción de cohomoxeneidade un do grupo de Lie SO_n+1, que permite reducir as ecuacións de Einstein a un sistema de EDOs, reparametrizado pola curvatura media das órbitas principais. Un dos aspectos novidosos do traballo é o uso dunha proba asistida por ordenador, unha metodoloxía ata agora relativamente pouco explorada en xeometría diferencial. Empregamos aritmética de intervalos e o teorema do punto fixo de Krawczyk, unha xeneralización do método de Newton que permite converter a análise numérica nunha demostración rigorosa.

As variedades nearly G₂ son variedades de Einstein positivas de dimensión sete cuxa métrica cónica asociada ten holonomía especial igual a Spin(7), ou contida nel. Estudamos G₂-estruturas nearly parallel invariantes baixo unha acción de cohomoxeneidade un de SO(4), e construímos a primeira G₂-estrutura nearly parallel non homoxénea no espazo de Berger SO(5)/SO(3). O cono sobre esta métrica ten holonomía completa Spin(7). A existencia da solución establécese mediante un argumento de shooting rigoroso asistido por ordenador.

Establecemos tamén unha desingularización local dun cociente finito do cono seno sobre S³ × S³, pegando a burbulla asintoticamente cónica C₇ construída por Foscolo–Haskins–Nordström. Mostramos que, cando a órbita singular dunha familia de variedades nearly parallel G₂ colapsa, lonxe da órbita singular a familia desingularizante converxe ao cociente do cono seno, mentres que o blow-up natural converxe á G₂-métrica AC sen torsión de C₇. A charla baséase nun traballo conxunto con Simon Salamon.