Seminario Vidal Abascal

Farei un repaso dos avances recentes en curvatura seccional positiva. En particular, ao longo deste verán anunciáronse solucións negativas ás dúas famosas conxecturas de Hopf (existencia en produtos e característica de Euler positiva), e só un deses anuncios é lixo ilexible xerado por IA! Por outra banda, baixo hipóteses de simetría suaves (unha acción isométrica de rango ≥ 3), pódese demostrar que a conxectura da característica de Euler é certa.

Trátase dun traballo conxunto con Dennis Wulle.

As foliacións riemannianas singulares xeneralizan as accións isométricas de grupos e dan lugar a unha rica xeometría transversal. No caso polar, o espazo de follas posúe unha estrutura natural de orbifold.

Introducimos e estudamos unha clase de foliacións riemannianas singulares con seccións que denominamos foliacións Coxeter polares. Obtemos dous resultados principais de reconstrución. En primeiro lugar, demostramos que, para toda foliación riemanniana singular que admita seccións, calquera métrica riemanniana de orbifold no espazo de follas está inducida por unha métrica riemanniana na variedade ambiente adaptada á foliación. En segundo lugar, demostramos que o espazo de follas dunha foliación Coxeter polar admite un sistema completo de pesos que determina de xeito único tanto a foliación como a variedade ambiente, salvo difeomorfismos foliados.

Este traballo forma parte dunha colaboración con Diego Corro.

As variedades nearly G₂ son variedades de Einstein positivas de dimensión sete cuxa métrica cónica asociada ten holonomía especial igual a Spin(7), ou contida nel. Estudamos G₂-estruturas nearly parallel invariantes baixo unha acción de cohomoxeneidade un de SO(4), e construímos a primeira G₂-estrutura nearly parallel non homoxénea no espazo de Berger SO(5)/SO(3). O cono sobre esta métrica ten holonomía completa Spin(7). A existencia da solución establécese mediante un argumento de shooting rigoroso asistido por ordenador.

Establecemos tamén unha desingularización local dun cociente finito do cono seno sobre S³ × S³, pegando a burbulla asintoticamente cónica C₇ construída por Foscolo–Haskins–Nordström. Mostramos que, cando a órbita singular dunha familia de variedades nearly parallel G₂ colapsa, lonxe da órbita singular a familia desingularizante converxe ao cociente do cono seno, mentres que o blow-up natural converxe á G₂-métrica AC sen torsión de C₇. A charla baséase nun traballo conxunto con Simon Salamon.

Nesta charla estableceremos que unha variedade riemanniana compacta que admite un campo de vectores conforme pechado non trivial é localmente conformemente plana baixo unha condición de curvatura de Ricci direccional positiva.

O espazo proxectivo complexo ℂPⁿ, que parametriza as rectas complexas de ℂⁿ⁺¹, é un dos obxectos máis estudados da xeometría alxébrica e complexa. A primeira métrica de Einstein descuberta en ℂPⁿ foi a métrica de Fubini–Study, e en 1965 Berger preguntou se era a única. En 1982, Ziller construíu unha segunda métrica de Einstein homoxénea en dimensión complexa impar. A pregunta de Berger seguía aberta en dimensión complexa par, onde Fubini–Study era a única métrica de Einstein coñecida.

Xunto con Gonzalo Cao Labora (EPFL, Suíza), construímos novas métricas de Einstein en ℂPⁿ para n ∈ {3, 4, 5, 6, 7}. Son os primeiros exemplos non homoxéneos coñecidos e, xunto coas métricas de Fubini–Study e de Ziller, os únicos coñecidos ata o momento. A nosa construción resolve a pregunta de Berger nos casos n = 4 e n = 6, ata agora abertos.

A construción baséase nunha acción de cohomoxeneidade un do grupo de Lie SO_n+1, que permite reducir as ecuacións de Einstein a un sistema de EDOs, reparametrizado pola curvatura media das órbitas principais. Un dos aspectos novidosos do traballo é o uso dunha proba asistida por ordenador, unha metodoloxía ata agora relativamente pouco explorada en xeometría diferencial. Empregamos aritmética de intervalos e o teorema do punto fixo de Krawczyk, unha xeneralización do método de Newton que permite converter a análise numérica nunha demostración rigorosa.