G

U

Í

A

S

1) A condición sobre as normas implica que todos os puntos x_n son diferentes, e que todos teñen norma menor que 1. Logo E é un conxunto infinito e limitado. O Teorema de Bolzano-Weierstrass permite concluír.

2) Constrúe un conxunto E coa condición do enunciado, de xeito que todos os puntos estean nunha mesma semirecta pola orixe. Por exemplo, tomando x_n=(a_n,0), a_n>0.

3) Coa mesma idea, podes contruír E de forma que os termos pares estean sobre unha semirecta e os termos impares sobre outra.

4) No conxunto aberto R²-B₂[0,1] non hai ningún punto de E. Logo ningún punto deste conxunto pode ser punto de acumulación de E.

No conxunto aberto B₂(0,n/(n+1)) hai soamente un número finito de puntos de E, logo ningún punto deste conxunto pode ser punto de acumulación de E. Daquela, ningún punto de B₂(0,1) pode ser punto de acumulación de E, pois esta bóla aberta de raio 1 é a unión das bólas abertas de raios n/(n+1).

5) Imos construír un conxunto E, verificando as condicións do enunciado, e tal que E'=S¹. Para iso, imos considerar os puntos de S¹ que teñan abscisa racional. Imos coller as correspondentes semirectas. Como se trata dun conxunto enumerábel, podémolo enumerar. Ímolo enumerar utilizando o conxunto de números primos. Agora, para cada número primo p, sobre a semirecta correspondente imos construír os puntos x_n con n=p^k, k=1,2,3,.... Os outros puntos de E, con n distinto da potencia dun primo, se escollen sen máis que cumplindo a condición do enunciado. Para cada número primo p, a subsucesión y_k dos puntos x_n con n=p^k converxe ao punto de norma unidade sobre a semirecta correspondente, que, logo, é punto de acumulación de E. En fin, calquera bóla de centro un punto de S¹ contén puntos de S¹ con abscisa racional. Logo, sendo un aberto que contén un punto de acumulación de E, contén infinidade de puntos de E.