Topoloxía dos espacios euclidianos

Táboa de contidos

1. Os espacios euclidianos

   Produto escalar e norma euclidiana. Desigualdades de Cauchy-Schwarz e de Minkowski. Distancia euclidiana: propiedades, a desigualdade triangular. Bólas abertas. Conxuntos limitados. Diámetro.

2. A topoloxía dos espacios euclidianos

   Definición de conxunto aberto. Propiedades características dos conxuntos abertos. Conxuntos pechados. Espacios e subespacios. Abertos relativos.

3. Sucesións

   Sucesións. Sucesións converxentes. Subsucesións. Converxencia e topoloxía: puntos de acumulación. Sucesións de Cauchy. A completitude da recta real: principio do supremo e postulado dos intervalos encaixados. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Completitude do espacio euclidiano.

4. Continuidade

   Definición de continuidade. Continuidade secuencial. Composición de funcións continuas. Restrición. Caracterización global da continuidade. Función combinada. Homeomorfismos. Propiedades topolóxicas.

5. Conexión

   Espazos conexos. O Teorema do valor intermedio.

6. Compacidade

   Compacidade. Compacidade secuencial. Caracterización dos conxuntos compactos no espacio euclidiano. O Teorema do máximo e do mínimo. Continuidade uniforme.

Bibliografía

• R. G. BARTLE, Introducción al Análisis Matemático. Ed. Limusa. México, 1980.
• G. BUSKES, A. VAN ROOIJ, Topological spaces. Springer, 1996.
• W. G. CHINN, N. E. STEENROOD, Primeros conceptos de Topología. Ed. Alhambra, 1975.
• X. M. MASA VÁZQUEZ, Curso de topoloxía: dos números reais ao Grupo de Poincaré. Servizo de Publicacións e Intercambio Científico da USC, USC Editora. Manuais, Santiago de Compostela, 2019.
• W. A. SUTHERLAND, Introduction to metrics and topological spaces. Clarendon Press. Oxford, 1975.