Sucesións

O obxectivo deste tema é introducir a noción de converxencia de sucesións e utilizar dita propiedade para o estudio da topoloxía.

Sucesións e converxencia

Sexa X un subconxunto de Rn. Unha sucesión en X é unha enumeración de elementos de X. Máis concretamente,

Unha sucesión nun conxunto X é unha aplicación x:NX.

Normalmente designaremos por xk á imaxe pola aplicación x do natural k, é dicir, xk=x(k). Á propia sucesión denotarémola {xk}, e o conxunto imaxe da sucesión excribirémolo explicitamente como {xk:kN}. Non obstante, aínda empregarémo-la notación {xk}A para expresar que {xk:kN}A. A cada elemento xk denomínaselle termo da sucesión.

O esencial dunha sucesión non é tanto o conxunto imaxe, senón o xeito no que se ordean os termos. Por exemplo, as sucesións xk=(1)k, e 1,1,1,1, posúen o mesmo conxunto imaxe, pero os seus comportamentos son moi diferentes.

Unha sucesión {xk} dise que converxe a un punto x0 se toda bóla aberta arredor de x0 contén a tódolos termos da sucesión a partir dun momento dado, é dicir, se ϵ>0,NN:xkBX(x0,ϵ),kN. En tal caso dirase que a sucesión é converxente, e que x0 é o seu límite.

Equivalentemente, a condición de converxencia a x0 tamén se pode escribir como ϵ>0,NN:d(xk,x0)<ϵ,kN.

En xeral representaremos a condición de converxencia anterior como {xk}x0, ou limkxk=x0.

Se unha sucesión non converxe a ningún punto diremos que é diverxente ou que diverxe. Os conceptos de "diverxer a infinito" non están definidos para sucesións en Rn.

O seguinte resultado é importante non tanto polas súas consecuencias prácticas, senón polo feito de que nun espacio topolóxico esta sería a definición de converxencia.

Sexa {xk} unha sucesión en X. Entón {xk} converxe a x0 se e só se para todo aberto U contendo a x0 existe NN tal que xkU para todo kN.

Supoñamos {xk}x0, e sexa U aberto de X tal que x0U. Como U é aberto, existe ϵ>0 tal que B(x0,ϵ)U. Por definición de límite, existe NN tal que xkB(x0,ϵ)U para todo kN, como queriamos.

Reciprocamente, dado ϵ>0 arbitrario, como U=B(x0,ϵ) é un aberto contendo a x0, por hipótese existe NN tal que xkB(x0,ϵ) para todo kN, o que é a definición de límite.

O límite dunha sucesión, se existe, é único.

Supoñamos pola contra que a sucesión {xk} ten dous límites x,yX, con xy. Tomemos ϵ=d(x,y)/2>0.

Unicidade de límite ε ε x y

Como , para o anterior existe tal que para todo .

Similarmente, como , existe tal que para todo .

Tomando e temos que , o que non é posible xa que pola desigualdade triangular Por tanto, o límite, se existe, ten que ser único.

O seguinte exercicio dá un criterio para un espacio topolóxico que aseguraría a existencia de límite único cunha demostración similar á da anterior proposición.

Proba que todo subconxunto de de é Hausdorff, é dicir, que para calquera par de puntos distintos , , , existen abertos e de tales que , , e .

No caso de temos sucesións de números reais, e tendo en conta que a distancia en é o valor absoluto da diferencia, obtemos o concepto de converxencia de sucesión de números reais. Neste curso suporemos certos os resultados de converxencia de sucesións de números reais. Entre eles cabe resaltar o lema do sandwich:

Sexan , e sucesións de números reais tales que para todo . Se e , entón é converxente e .

Sexa arbitrario.

Como , existe tal que para todo .

Como , existe tal que para todo .

Tomemos e . Entón de onde se deduce como queriamos probar.

Sexa unha sucesión nun conxunto . Entón a sucesión converxe a un punto se e só se a sucesión de números reais converxe a .

Como resultado importante que permite aplica-los resultados coñecidos en para o cálculo de límites de sucesións de vectores de temos a seguinte equivalencia.

Sexa unha sucesión en . Entón, converxe a se e só se converxe a para todo .

Dito doutro xeito: sempre que os límites existan.

Supoñamos primeiro que .

Sexa e vexamos que converxe a .

Sexa dado. Como , existe tal que para todo . Pois ben, se entón de onde .

Converxencia das compoñentes dunha sucesión x1 x2 y1 y2 (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) (x, y) x y ( ) ε ( ) ε Converxencia das compoñentes dunha sucesión x1 x2 y1 y2 (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) (x, y) x y ( ) ε / 2 ( ) ε / 2 ε
Ilustración das dúas implicacións da demostración

Reciprocamente, supoñamos que para todo , e vexamos que entón .

Sexa pois dado. Como , existe tal que para todo .

Tomemos entón e sexa . Así, de onde converxe a , como queriamos ver.

En cursos máis avanzados verase que a idea fundamental da anterior demostración consiste en resolve-lo seguinte exercicio.

Para un vector definimos Probar que satisfai as propiedades dunha norma. Probar ademais as seguintes desigualdades:

O seguinte exercicio é doado de resolver coa propia definición de converxencia. En todo caso, esta afirmación tamén se segue de que toda sucesión converxente é de Cauchy, e de que toda sucesión de Cauchy é limitada.

Toda sucesión converxente é limitada.

Subsucesións

Unha aplicación é estrictamente crecente se e só se para calquera naturais , ,

Isto implica, por exemplo, que para todo .

Unha subsucesión dunha sucesión dada consiste nunha escolla dos termos da sucesión mantendo a súa orde. Recalcamos que non é suficiente con que os termos sexan un subconxunto da sucesión orixinal, e que o feito de que estean ben ordeados, é dicir mantendo a orde da sucesión orixinal, é un requerimento fundamental da definición.

Unha aplicación é estrictamente crecente se e só se para calquera naturais , , Isto implica, por exemplo, que para todo .

De xeito máis preciso:

Sexa unha sucesión e unha aplicación estrictamente crecente. Entón a aplicación dise que é unha subsucesión da sucesión .

Toda sucesión ten infinitas subsucesións. Por exemplo:

  • A subsucesión dos termos de orde par en .
  • A subsucesión dos termos de orde impar en .
  • A subsucesión dos múltiplos de tres...

Cómpre recalcar que é necesario mante-la orde. Por exemplo, , , , , ,... non é unha subsucesión de .

Se unha sucesión é converxente, tamén o son tódalas súas subsucesións e ademais todas converxen ó mesmo límite.

Supoñamos e sexa unha función estrictamente crecente. Temos que ver que . Para iso sexa arbitrario.

Como , existe tal que para todo .

Entón, se , tamén temos que , de xeito que como queriamos ver.

Unha sucesión pode posuír subsucesións converxentes sen que ela mesma o sexa. Por exemplo, a sucesión non é converxente. Non obstante, as subsucesións converxen: , .

Caracterización secuencial de conceptos topolóxicos

Algúns dos conceptos topolóxicos introducidos no tema anterior poden ser caracterizados en termos de sucesións.

Sexa e .

Un punto é adherente a se e só se existe unha sucesión de puntos de tal que .

Supoñamos primeiro que . Vexamos que existe unha sucesión de puntos de que converxe a .

Caracterización secuencial da clausura X x x1 x2 x3

Para cada , por definición de punto clausura, e en vista de que , podemos tomar . Temos por tanto unha sucesión tal que . Como , o lema do sandwich implica entón que , ou equivalentemente, , como queriamos ver.

Reciprocamente, supoñamos que existe tal que , e probemos entón que .

Sexa arbitrario. Como , existe tal que para todo . En particular, , co que , o que proba que é un punto da clausura de .

A correspondente afirmación para puntos de acumulación próbase de xeito similar. A segunda afirmación da seguinte proposición déixase como exercicio.

Sexa . Entón temos as seguintes caracterización dos puntos de acumulación:

  • se e só se existe unha sucesión de puntos de , todos distintos de , tal que .
  • se e só se existe unha sucesión de puntos de , todos distintos entre si, tal que .

Supoñamos primeiro que . Vexamos que existe unha sucesión de puntos de , todos distintos de , que converxe a .

Para cada , por definición de punto de acumulación, dado que , podemos tomar con . Temos por tanto unha sucesión , con , tal que . Como , o lema do sandwich implica entón que , ou equivalentemente, , como faltaba por ver.

Reciprocamente, supoñamos que existe , con para todo , tal que , e probemos entón que .

Sexa arbitrario. Como , existe tal que para todo . Por hipótese, , e así , co que . En consecuencia, é un punto de acumulación de .

De xeito parecido, podemos tamén obter unha caracterización dos conxuntos pechados, como aqueles que conteñen tódolos límites das súas sucesións converxentes.

Un conxunto é pechado en se e só se para toda sucesión de puntos de que converxa en a un punto, digamos , se ten que .

Supoñamos que é pechado, e sexa unha sucesión tal que . Vexamos que .

Pola contra supoñamos que . Como é aberto, existe tal que . Para este radio, como , existe tal que , para todo , o que é absurdo pois . Logo como queriamos ver.

Supoñamos agora que non é pechado e vexamos que hai unha sucesión de puntos de que non converxe a un punto de .

Como non é pechado, existe tal que para todo se ten que . En particular, para existirá . Construímos así unha sucesión . Ademais, como , polo lema do sandwich dedúcese que , como queriamos ver.

Esta caracterización dos conxuntos pechados é útil sobre todo para probar que un conxunto non é pechado, xa que bastará con atopar unha sucesión de puntos do conxunto que non converxe a un punto do conxunto.

Completitude

Nesta sección introduciremos o concepto de sucesión de Cauchy e de completitude dun conxunto. Estes dous conceptos non son puramente topolóxicos, senón que están asociados á distancia. Non obstante interesa coñecelos xa que aparecen en moitos lugares das matemáticas.

Sucesións de Cauchy

Falando informalmente, nunha sucesión de Cauchy preténdese defini-lo concepto de converxencia sen facer referencia ó límite. Así, unha sucesión será de Cauchy cando "converxe", pero no espacio no que está incluída pode falta-lo seu límite. Vexamos a continuación estas afirmacións de xeito máis riguroso.

Unha sucesión é de Cauchy se

Equivalentemente, é de Cauchy se e só se

Cómpre sinalar que se é unha sucesión de Cauchy en , e , entón tamén é sucesión de Cauchy en . É dicir, que se unha sucesión é de Cauchy en , tamén será de Cauchy en calquera conxunto que o conteña. Nótese que a definición depende só da distancia e as distancias relativas en subconxuntos obtéñense simplemente por restricción.

Unha consecuencia inmediata da desigualdade triangular é o seguinte:

Toda sucesión converxente é de Cauchy.

Supoñamos que converxe a un punto . Vexamos que é de Cauchy. Sexa dado.

Como , existe tal que para todo .

Logo, se , entón, pola desigualdade triangular, co que é de Cauchy.

O recíproco do anterior non é necesariamente certo, polo que as condicións de converxencia e de ser de Cauchy non son equivalentes. Este feito depende do espacio que se considere:

  • A sucesión é converxente no conxunto .
  • A sucesión é de Cauchy no conxunto , pero non é converxente, dado que o límite da mesma non está en . Argumentamos de xeito máis preciso. Temos que a sucesión é converxente en , por tanto é de Cauchy en , e en consecuencia en , como vimos anteriormente. Non obstante, non pode ser converxente en , pois se o fose, xa que , como sucesión de tería outro límite en distinto de , o cal non é posible pola unicidade de límite.

Enunciamos a continuación un par de resultados que teñen unha demostración moi similar á correspondente para sucesións converxentes.

Sexa unha sucesión en . Entón, é de Cauchy se e só se é de Cauchy para todo .

Supoñamos primeiro que é de Cauchy. Sexa e vexamos que é de Cauchy.

Sexa dado. Como é de Cauchy, existe tal que para todo . Pois ben, se entón de onde se segue que é de Cauchy.

Reciprocamente, supoñamos que é de Cauchy para todo , e vexamos que entón tamén é de Cauchy.

Sexa pois dado. Como é de Cauchy, existe tal que para todo . Tomemos entón e sexan . Entón, de onde é de Cauchy, como queriamos ver.

Toda subsucesión dunha sucesión de Cauchy é de Cauchy.

Supoñamos que é de Cauchy e sexa unha función estrictamente crecente. Temos que ver que é de Cauchy. Para iso sexa arbitrario.

Como é de Cauchy, existe tal que para todo .

Entón, se , tamén temos que e . Por tanto, como queriamos ver.

O conxunto de puntos dunha sucesión de Cauchy é limitado, tal e como amosa a seguinte proposición.

Toda sucesión de Cauchy é limitada.

Supoñamos que é unha sucesión de Cauchy. Dado , existe tal que para todo , . Tomemos Entón .

Ademais, tamén témo-la seguinte relación entre sucesión de Cauchy, subsucesións, e converxencia.

Se unha sucesión de Cauchy posúe unha subsucesión converxente a un punto , entón a propia sucesión converxe a .

Sexa unha sucesión de Cauchy, unha función estrictamente monótona crecente, e supoñamos que a subsucesión converxe a un punto . Vexamos que entón .

Sexa dado.

Como é de Cauchy, existe tal que para todo , .

Com converxe a , existe tal que para todo .

Tomemos , e sexa . Entón, como , co que , como queriamos ver.

Para que unha sucesión sexa de Cauchy non é suficiente a condición É dicir, non chega con que termos consecutivos estean suficientemente próximos.

Por exemplo, tomémo-la sucesión , onde Obviamente , que se pode facer tan pequeno como se queira para suficientemente grande.

Non obstante, co que evidentemente, a sucesión non pode ser de Cauchy.

A continuación introducimos a condición de completitude dun espacio métrico.

Un conxunto é completo se toda sucesión de Cauchy en é converxente en .

Os seguintes resultados proporcionan un criterio para decidi-la completitude dun subconxunto. O primeiro deles di que os conxuntos completos son pechados.

Sexa . Se é completo, entón é pechado en .

Supoñamos que é completo, e vexamos que é pechado empregando a caracterización secuencial de conxuntos pechados.

Sexa pois unha sucesión tal que . Vexamos que . En efecto, como é converxente, en particular é de Cauchy en , e por ser completo, resulta que ten un límite . Por unicidade de límite, .

A continuación probamos que un conxunto pechado dentro dun completo é completo.

Se é un conxunto completo e é pechado en , entón é completo.

Supoñamos que é completo e que é pechado en . Sexa unha sucesión de Cauchy en . Obviamente, tamén é de Cauchy en , e como é completo, ten un límite . Agora ben, é pechado en , co que, pola caracterización secuencial dos conxuntos pechados, , e por tanto a sucesión converxe en .

Como consecuencia das dúas proposicións anteriores deducimos que, nun completo, os conxuntos pechados e os completos coinciden.

A completitude de

Antes de comezar esta sección necesitamos recordar un axioma fundamental que satisfán os números reais.

O conxunto dos números reais é un corpo cunha relación de orde compatible que satisfai o axioma do supremo:

Todo conxunto non baleiro de números reais limitado superiormente ten supremo.

O seguinte teorema amosa que é completo empregando o principio dos intervalos encaixados: toda sucesión contractiva de intervalos pechados e limitados ten intersección non baleira. No transcurso da demostración probaremos unha versión axeitada deste resultado.

é completo.

Sexa unha sucesión de Cauchy de números reais. Vexamos que é converxente.

Como toda sucesión de Cauchy é limitada, podemos poñer para certo intervalo . Sexa .

Definimos e considerámo-los subconxuntos e . Como é infinito, algún dos dous conxuntos anteriores tamén o é (pois a unión deles é ). Chamamos ó correspondente conxunto infinito (ou calquera deles se os dous son infinitos) e tomámo-lo intervalo correspondente a , que denotaremos por . É dicir, facemos , se é infinito, ou , se é infinito.

Agora definimos e considerámo-los subconxuntos e . Como é infinito, algún dos dous conxuntos anteriores tamén o é e chamamos a un que o sexa . Sexa o intervalo correspondente a .

De xeito inductivo construímos unha sucesión de intervalos de forma que é un conxunto infinito. Ademais, por construcción, para cada ,

  • (inducción),
  • (é dicir, é crecente),
  • (é dicir, é decrecente).

O conxunto é limitado superiormente (por , por exemplo). Como satisfai o axioma do supremo, dito conxunto terá un supremo . Imos ver que é o límite de . Sexa pois dado.

Como é de Cauchy, existe tal que para todo .

Como , existe de xeito que para todo .

Por definición de supremo, e, para , existe tal que . De feito, como é crecente, para todo .

Pois ben, definimos . Sexa arbitrario.

Como é un conxunto infinito, existe, tal que . Entón, co que efectivamente , como queriamos ver.

Resulta que o producto cartesiano de espacios completos é completo. A demostración deste resultado é basicamente o que se emprega para o caso particular de .

é completo.

Sexa unha sucesión en . Entón, as súas coordenadas son de Cauchy para cada . Como é completo, cada é converxente, e por tanto a correspondente sucesión dos vectores tamén o é.

Problemas resoltos

Probar que a clausura dunha bóla aberta en é a pechada correspondente.

Sexa e . Vexamos que .

Clausura dunha bóla aberta x0 x

() Sexa . Tomámo-la sucesión . Temos que co que dita sucesión está contida en . Ademais, . Logo, pola caracterización secuencial da clausura, .

() Sexa . Como é pechada, existe tal que Logo , como queriamos ver.

Sexa . Probar que .

A sucesión converxe a . Pola caracterización secuencial dos puntos clausura, .

Sexa . ¿É certo que todo conxunto pechado en é completo?

Falso. O propio é pechado en . Non obstante, non é completo, pois non é pechado en (recordemos que un subconxunto de é completo se e só se é pechado).

Decidir se é completo.

Vexamos que o conxunto non é completo empregando os resultados de caracterización vistos neste capítulo.

Cadrado aberto

A sucesión está contida en pois . Dita sucesión converxe a que non é un punto de porque para todo .

Pola caracterización secuencial dos conxuntos pechados, chegamos a que non é pechado, e como os conxuntos completos son pechados, séguese que tampouco pode ser completo.

En resumo, non é completo.