O obxectivo deste tema é introducir a noción de converxencia de sucesións e utilizar dita
propiedade para o estudio da topoloxía.
Sucesións e converxencia
Sexa un subconxunto de . Unha sucesión en é unha enumeración de elementos de . Máis concretamente,
Unha sucesión nun conxunto é unha aplicación
.
Normalmente designaremos por á imaxe pola aplicación do
natural , é dicir, . Á propia sucesión denotarémola , e o conxunto imaxe da
sucesión excribirémolo explicitamente como .
Non obstante, aínda empregarémo-la notación para expresar que . A cada elemento denomínaselle termo da sucesión.
O esencial dunha sucesión non é tanto o conxunto imaxe, senón o xeito
no que se ordean os termos. Por exemplo, as sucesións
, e posúen o mesmo conxunto imaxe, pero os seus comportamentos son moi diferentes.
Unha sucesión dise que converxe a un punto se
toda bóla aberta arredor de contén a tódolos termos da sucesión a
partir dun momento dado, é dicir, se
En tal caso dirase que a sucesión é converxente, e que é o seu límite.
Equivalentemente, a condición de converxencia a tamén se pode escribir como
En xeral representaremos a condición de converxencia anterior como
Se unha sucesión non converxe a ningún punto diremos que é diverxente ou que diverxe. Os conceptos de "diverxer a infinito" non están definidos para sucesións en .
O seguinte resultado é importante non tanto polas súas consecuencias prácticas, senón polo feito de que nun espacio topolóxico esta sería a definición de converxencia.
Sexa unha sucesión en . Entón converxe a se e só se para todo aberto contendo a existe tal que para todo .
Supoñamos , e sexa aberto de tal que . Como é aberto, existe tal que . Por definición de límite, existe tal que para todo , como queriamos.
Reciprocamente, dado arbitrario, como é un aberto contendo a , por hipótese existe tal que para todo , o que é a definición de límite.
O límite dunha sucesión, se existe, é único.
Supoñamos pola contra que a sucesión ten dous límites, con . Tomemos .
Como , para o anterior existe tal que para todo .
Similarmente, como , existe tal que para todo .
Tomando e temos que , o que non é posible xa que pola desigualdade triangular
Por tanto, o límite, se existe, ten que ser único.
O seguinte exercicio dá un criterio para un espacio topolóxico que aseguraría a existencia de límite único cunha demostración similar á da anterior proposición.
Proba que todo subconxunto de de é Hausdorff, é dicir, que para calquera par de puntos distintos , , , existen abertos e de tales que , , e .
No caso de temos sucesións de números reais, e tendo en conta que a distancia en é o valor absoluto da diferencia, obtemos o concepto de converxencia de sucesión de números reais. Neste curso suporemos certos os resultados de converxencia de sucesións de números reais. Entre eles cabe resaltar o lema do sandwich:
Sexan , e sucesións de números reais tales que para todo . Se e , entón é converxente e .
Sexa arbitrario.
Como , existe tal que para todo .
Como , existe tal que para todo .
Tomemos e . Entón
de onde se deduce como queriamos probar.
Sexa unha sucesión nun conxunto . Entón a sucesión
converxe a un punto se e só se a sucesión de números reais
converxe a .
Como resultado importante que permite aplica-los resultados coñecidos en para o cálculo de límites de sucesións de vectores de temos a seguinte equivalencia.
Sexa unha sucesión en . Entón, converxe a se e só se converxe a para todo .
Unha aplicación é estrictamente crecente se e só se para calquera naturais , ,
Isto implica, por exemplo,
que para todo .
Unha subsucesión dunha sucesión dada consiste nunha escolla dos
termos da sucesión mantendo a súa orde.
Recalcamos que non é suficiente con que os termos sexan un subconxunto da sucesión orixinal, e que o feito de que estean ben ordeados, é dicir mantendo a orde da sucesión orixinal, é un requerimento fundamental da definición.
Unha aplicación é estrictamente crecente se e só se para calquera naturais , ,
Isto implica, por exemplo, que para todo .
De xeito máis preciso:
Sexa unha sucesión e
unha aplicación estrictamente crecente. Entón a aplicación
dise que é unha subsucesión da sucesión .
Toda sucesión ten infinitas subsucesións. Por exemplo:
A subsucesión dos termos de orde par en .
A subsucesión dos termos de orde impar en .
A subsucesión dos múltiplos de tres...
Cómpre recalcar que é necesario mante-la orde. Por exemplo, , , , , ,... non é unha subsucesión de .
Se unha sucesión é converxente, tamén o son tódalas súas
subsucesións e ademais todas converxen ó mesmo límite.
Supoñamos e sexa unha función estrictamente crecente. Temos que ver que . Para iso sexa arbitrario.
Como , existe tal que para todo .
Entón, se , tamén temos que , de xeito que como queriamos ver.
Unha sucesión pode posuír subsucesións converxentes sen que ela
mesma o sexa. Por exemplo, a sucesión
non é converxente. Non obstante, as subsucesións
converxen: , .
Caracterización secuencial de conceptos topolóxicos
Algúns dos conceptos topolóxicos introducidos no tema anterior poden ser caracterizados en termos de sucesións.
Sexa e .
Un punto é adherente a se e só se existe unha sucesión de puntos de tal que .
Supoñamos primeiro que . Vexamos que existe unha sucesión de puntos de que converxe a .
Para cada , por definición de punto clausura, e en vista de que , podemos tomar . Temos por tanto unha sucesión tal que . Como , o lema do sandwich implica entón que , ou equivalentemente,
, como queriamos ver.
Reciprocamente, supoñamos que existe tal que
, e probemos entón que .
Sexa arbitrario. Como , existe tal que para todo . En particular, , co que , o que proba que é un punto da clausura de .
A correspondente afirmación para puntos de acumulación próbase de xeito similar. A segunda afirmación da seguinte proposición déixase como exercicio.
se e só se existe unha sucesión de puntos de , todos distintos de , tal que .
se e só se existe unha sucesión de puntos de , todos distintos entre si, tal que .
Supoñamos primeiro que . Vexamos que existe unha sucesión de puntos de , todos distintos de , que converxe a .
Para cada , por definición de punto de acumulación, dado que , podemos tomar con . Temos por tanto unha sucesión , con , tal que . Como , o lema do sandwich implica entón que , ou equivalentemente,
, como faltaba por ver.
Reciprocamente, supoñamos que existe , con para todo , tal que
, e probemos entón que .
Sexa arbitrario. Como , existe tal que para todo . Por hipótese, , e así , co que .
En consecuencia, é un punto de acumulación de .
De xeito parecido, podemos tamén obter unha caracterización dos conxuntos pechados, como aqueles que conteñen tódolos límites das súas sucesións converxentes.
Un conxunto é pechado en se e só se para toda sucesión de puntos de que converxa en a un punto, digamos , se ten que .
Supoñamos que é pechado, e sexa unha sucesión tal que . Vexamos que .
Pola contra supoñamos que . Como é aberto, existe tal que . Para este radio, como , existe tal que , para todo , o que é absurdo pois . Logo como queriamos ver.
Supoñamos agora que non é pechado e vexamos que hai unha sucesión de puntos de que non converxe a un punto de .
Como non é pechado, existe tal que para todo se ten que . En particular, para existirá . Construímos así unha sucesión . Ademais, como , polo lema do sandwich dedúcese que , como queriamos ver.
Esta caracterización dos conxuntos pechados é útil sobre todo para probar que un conxunto non é pechado, xa que bastará con atopar unha sucesión de puntos do conxunto que non converxe a un punto do conxunto.
Completitude
Nesta sección introduciremos o concepto de sucesión de Cauchy e de completitude dun conxunto. Estes dous conceptos non son puramente topolóxicos, senón que están asociados á distancia. Non obstante interesa coñecelos xa que aparecen en moitos lugares das matemáticas.
Sucesións de Cauchy
Falando informalmente, nunha sucesión de Cauchy preténdese defini-lo concepto de converxencia sen facer referencia ó límite. Así, unha sucesión será de Cauchy cando "converxe", pero no espacio no que está incluída pode falta-lo seu límite. Vexamos a continuación estas afirmacións de xeito máis riguroso.
Unha sucesión é de Cauchy se
Equivalentemente, é de Cauchy se e só se
Cómpre sinalar que se é unha sucesión de Cauchy en , e , entón tamén é sucesión de Cauchy en . É dicir, que se unha sucesión é de Cauchy en , tamén será de Cauchy en calquera conxunto que o conteña. Nótese que a definición depende só da distancia e as distancias relativas en subconxuntos obtéñense simplemente por restricción.
Unha consecuencia inmediata da desigualdade triangular é o seguinte:
Toda sucesión converxente é de Cauchy.
Supoñamos que converxe a un punto . Vexamos que é de Cauchy. Sexa dado.
O recíproco do anterior non é necesariamente certo, polo que as condicións de converxencia e de ser de Cauchy non
son equivalentes. Este feito depende do espacio que se considere:
A sucesión é de Cauchy no conxunto , pero non é converxente, dado que o límite da mesma non está en . Argumentamos de xeito máis preciso. Temos que a sucesión é converxente en , por tanto é de Cauchy en , e en consecuencia en , como vimos anteriormente. Non obstante, non pode ser converxente en , pois se o fose, xa que , como sucesión de tería outro límite en distinto de , o cal non é posible pola unicidade de límite.
Enunciamos a continuación un par de resultados que teñen unha demostración moi similar á correspondente para sucesións converxentes.
Sexa unha sucesión en . Entón, é de Cauchy se e só se é de Cauchy para todo .
Supoñamos primeiro que é de Cauchy. Sexa e vexamos que é de Cauchy.
Sexa dado. Como é de Cauchy, existe tal que para todo . Pois ben, se entón
de onde se segue que é de Cauchy.
Reciprocamente, supoñamos que é de Cauchy para todo , e vexamos que entón tamén é de Cauchy.
Sexa pois dado. Como é de Cauchy, existe tal que
para todo . Tomemos entón e sexan . Entón,
de onde é de Cauchy, como queriamos ver.
Toda subsucesión dunha sucesión de Cauchy é de Cauchy.
Supoñamos que é de Cauchy e sexa unha función estrictamente crecente. Temos que ver que é de Cauchy. Para iso sexa arbitrario.
Como é de Cauchy, existe tal que
para todo .
Entón, se , tamén temos que e . Por tanto, como queriamos ver.
O conxunto de puntos dunha sucesión de Cauchy é limitado, tal e como amosa a seguinte proposición.
Tomemos , e sexa . Entón, como ,
co que , como queriamos ver.
Para que unha sucesión sexa de Cauchy non é suficiente a condición
É dicir, non chega con que termos consecutivos estean suficientemente próximos.
Por exemplo, tomémo-la sucesión , onde
Obviamente , que se pode facer tan pequeno como se queira para suficientemente grande.
Non obstante,
co que evidentemente, a sucesión non pode ser de Cauchy.
A continuación introducimos a condición de completitude dun espacio métrico.
Un conxunto é completo se toda sucesión de Cauchy en é converxente en .
Os seguintes resultados proporcionan un criterio para decidi-la completitude dun subconxunto. O primeiro deles di que os conxuntos completos son pechados.
Como consecuencia das dúas proposicións anteriores deducimos que, nun completo, os conxuntos pechados e os completos coinciden.
A completitude de
Antes de comezar esta sección necesitamos recordar un axioma fundamental que satisfán os números reais.
O conxunto dos números reais é un corpo cunha relación de orde compatible que satisfai o axioma do supremo:
Todo conxunto non baleiro de números reais limitado superiormente tensupremo.
O seguinte teorema amosa que é completo empregando o principio dos intervalos encaixados: toda sucesión contractiva de intervalos pechados e limitados ten intersección non baleira. No transcurso da demostración probaremos unha versión axeitada deste resultado.
é completo.
Sexa unha sucesión de Cauchy de números reais. Vexamos que é converxente.
Definimos e considerámo-los subconxuntos e . Como é infinito, algún dos dous conxuntos anteriores tamén o é (pois a unión deles é ). Chamamos ó correspondente conxunto infinito (ou calquera deles se os dous son infinitos) e tomámo-lo intervalo correspondente a , que denotaremos por . É dicir, facemos , se é infinito, ou , se é infinito.
Agora definimos e considerámo-los subconxuntos e . Como é infinito, algún dos dous conxuntos anteriores tamén o é e chamamos a un que o sexa . Sexa o intervalo correspondente a .
De xeito inductivo construímos unha sucesión de intervalos de forma que é un conxunto infinito. Ademais, por construcción, para cada ,
(inducción),
(é dicir, é crecente),
(é dicir, é decrecente).
O conxunto é limitado superiormente (por , por exemplo). Como satisfai o axioma do supremo, dito conxunto terá un supremo . Imos ver que é o límite de . Sexa pois dado.
Como é de Cauchy, existe tal que para todo .
Como , existe de xeito que para todo .
Por definición de supremo, e, para , existe tal que . De feito, como é crecente, para todo .
Pois ben, definimos . Sexa arbitrario.
Como é un conxunto infinito, existe, tal que . Entón,
co que efectivamente , como queriamos ver.
Resulta que o producto cartesiano de espacios completos é completo. A demostración deste resultado é basicamente o que se emprega para o caso particular de .
é completo.
Sexa unha sucesión en . Entón, as súas coordenadas son de Cauchy para cada . Como é completo, cada é converxente, e por tanto a correspondente sucesión dos vectores tamén o é.
Problemas resoltos
Probar que a clausura dunha bóla aberta en é a pechada correspondente.