Grupos de Lie de transformacións

No tema anterior falamos das propiedades alxébricas, topolóxicas e diferenciais dos grupos de Lie. Ademais de seren un obxecto de estudo interesante por si mesmos, os grupos de Lie adquiren especial relevancia como o obxecto matemático a partir do cal se pode formaliza-lo concepto de simetría. A simetría é un dos conceptos máis importantes das matemáticas. Un problema só é resoluble de xeito exacto cando presenta un alto grao de simetrías. Esta simetría non sempre se presenta mediante grupos de Lie, pero sempre é un feito subxacente á resolución do problema. Por exemplo, no estudio do movemento dos planetas arredor do sol, resulta imprescindible o emprego de coordenadas polares, cilíndricas ou esféricas, que non son máis ca un xeito de escribir explicitamente as simetrías dos grupos de Lie $\mathsf{S}^1$ ou $\mathsf{S}^2$.

Felix Klein, no seu programa de Erlangen, propuxo unifica-las distintas xeometrías (afín, euclidiana, proxectiva, etc.) mediante a idea de grupo de transformacións. A idea do programa é que a xeometría é un espacio sobre o que actúa un grupo, e as propiedades xeométricas dese espacio son aquelas que quedan invariantes pola acción do grupo. Estas propiedades son as que se coñecen como as simetrías do espacio.

O concepto de simetría non é exclusivo da xeometría. A física tamén se nutre deste concepto. Por exemplo, o teorema de Noether afirma que toda simetría diferenciable dun sistema físico se corresponde cunha lei de conservación.

Segundo o premio Nobel Philip Anderson: By symmetry we mean the existence of different viewpoints from which the system appears the same. It is only slightly overstating the case to say that physics is the study of symmetry. The first demonstration of the power of this idea may have been by Newton, who may have asked himself the question: What if the matter here in my hand obeys the same laws as that up in the sky; that is, what if space and matter are homogeneous and isotropic?.

Accións de grupos de Lie

Unha acción (pola esquerda) dun grupo de Lie $G$ nunha variedade diferenciable $M$ é unha aplicación diferenciable $\phi\colon G\times M\to M$ tal que $\phi(e,p)=p$ e $\phi(g,\phi(h,p))=\phi(gh,p)$, para todo $g,h\in G$ e $p\in M$.

Nestas condicións dise que $G$ actúa (pola esquerda) sobre $M$ e que $M$ é un $G$-espacio.

Será habitual que denotemos $\phi(g,p)$ como $g(p)$ ou $g\cdot p$ dependendo do contexto. Deste xeito as condicións anteriores poden escribirse por exemplo como $e\cdot p=p$ e $g\cdot(h\cdot p)=gh\cdot p$.

Para $g\in G$ defínese $\phi_g\colon M\to M$, $p\mapsto g\cdot p$. Entón $\phi_g\circ\phi_h=\phi_{gh}$, $\phi_e=\id_M$, e $\phi_g^{-1}=\phi_{g^{-1}}$.En particular, cada $\phi_g$ é un difeomorfismo de $M$.

Sexa $G\times M\to M$ unha acción de $G$ sobre $M$.

Dado $p\in M$ a órbita de $p$ é o conxunto $G\cdot p=\{g\cdot p:g\in G\}$.

Para $p\in M$, o grupo de isotropía de $p$, ou o estabilizador de $p$, é o grupo $G_p=\{g\in G: g\cdot p=p\}$.

Probar que $G_{g\cdot p}=g G_p g^{-1}$.

Sexa $G\times M\to M$ unha acción de $G$ sobre $M$.

A acción dise transitiva se para calquera $p,q\in G$ existe $g\in G$ tal que $g\cdot p=q$.

A acción dise libre se cando $g\cdot p=p$ para algún $p\in M$ se ten que $g=e$.

A acción dise que é efectiva se cando $g\cdot p=p$ para todo $p\in M$ se ten $g=e$.

(de accións de grupos de Lie)

  • A acción trivial dun grupo $G$ nunha variedade $M$: $g\cdot p=p$. Neste caso $G\cdot p=p$, $G_p=G$ e acción non é efectiva.
  • A acción natural dun subgrupo $G$ de $\mathsf{GL}(n,\R)$ en $\R^n$, $A\cdot\mathbf{x}=A\mathbf{x}$.
  • A acción dun subgrupo $H$ de $G$ multiplicando pola dereita: $h\cdot g=hg$.
  • A conxugación dun grupo de Lie $G$: $h\cdot g=hgh^{-1}$.

Sexa $\g{g}$ a álxebra de Lie de $G$. Se $X\in\g{g}$ denotamos por $X^*$ ó xerador infinitesimal da acción, que vén definido como \[ X^*_p=\frac{d}{dt}\bigg\lvert_0 \Exp(tX)\cdot p. \] A aplicación que a cada elemento da álxebra de Lie de $G$ o leva no seu xerador infinitesimal é un antiautomorfismo de álxebras de Lie, é dicir, \[ [X,Y]^*=-[X^*,Y^*]. \]

\[ \begin{array}{rcl} M & \stackrel{f}{\longrightarrow} & N\\ {\scriptstyle \phi_g}\uparrow & \circlearrowright & \uparrow{\scriptstyle \psi_{\varphi(g)}}\\ M & \stackrel{f}{\longrightarrow} & N \end{array} \]

Sexa $f\colon M\to N$ unha aplicación diferenciable, e $\phi\colon G\times M\to M$ e $\psi\colon G\times N\to N$ dúas accións.

Dicimos que $f$ é $G$-equivariante se $g\cdot f(p)=f(g\cdot p)$ para cada $g\in G$ e $p\in M$. \[ \begin{array}{rcl} M & \stackrel{f}{\longrightarrow} & N\\ {\scriptstyle \phi_g}\uparrow & \circlearrowright & \uparrow{\scriptstyle \psi_{\varphi(g)}}\\ M & \stackrel{f}{\longrightarrow} & N \end{array} \]

Sexa $G\times M\to M$ unha acción de $G$ en $M$. Definímo-la relación $p\sim q$ se e só se existe $g\in G$ tal que $q=g\cdot p$. É sinxelo ver que esta é unha relación de equivalencia onde as clases de equivalencia son xustamente as órbitas de $G$. Denotamos por $M/G$ o espacio cociente, ó que dotaremos da topoloxía cociente. A $M/G$ chámaselle o espacio de órbitas da acción de $G$ en $M$. Sexa $\pi\colon M\to M/G$ a proxección.

A aplicación cociente $\pi\colon M\to M/G$ é unha identificación aberta.

Sexa $U$ aberto en $M$. Recordemos que $\phi_g\colon M\to M$, $p\mapsto \phi_g(p)=g\cdot p$ é un difeomorfismo. Como \[ \pi^{-1}(\pi(U)) =\bigcup_{g\in G}\phi_g(U), \] que é aberto por ser unión de abertos.

(de espacios de órbitas)

  • O espacio de órbitas da acción trivial $G\times M\to M$, $g\cdot p=p$, é difeomorfo a $M$.
  • A acción de $\R^k$ en $\R^{k+n}$ dada por $\mathbf{v}\cdot(p,q)=(p+\mathbf{v},q)$ ten como espacio de órbitas $\R^n$.
  • A acción natural de $\mathsf{GL}(n,\R)$ en $\R^n$ ten como espacio de órbitas $\{\{\mathbf{0}\},\R^n\setminus\{\mathbf{0}\}\}$ dotado da topoloxía de Sierpinski.
  • A acción de $\mathsf{S}^1$ en $\C$ dada por $e^{\mathsf{i}\theta}\cdot z=e^{\mathsf{i}\theta}z$ ten como espacio de órbitas $[0,\infty)$.
  • En xeral, a acción natural de $\mathsf{O}(n)$ ou de $\mathsf{SO}(n)$ en $\R^n$ ten como espacio de órbitas $[0,\infty)$. A súa restricción á esfera $\mathsf{S}^{n-1}$ é transitiva.
  • Sexa $\R\times(\mathsf{S}^1\times\mathsf{S}^1)\to\mathsf{S}^1\times\mathsf{S}^1$ a acción dada por $t\cdot(z,w)=(e^{2\pi\mathsf{i}t}z,e^{2\pi\alpha \mathsf{i}t}w)$, con $\alpha\in\R\setminus\mathbb{Q}$. Pode verse que esta é unha acción diferenciable para a que o espacio de órbitas é ten a topoloxía trivial.
  • A acción de $\mathsf{S}^1\times\mathsf{S}^1$ en $\C^2$ dada por $(e^{\mathsf{i}\theta},e^{\mathsf{i}\varphi})\cdot(z,w)=(e^{\mathsf{i}\theta}z,e^{\mathsf{i}\varphi}w)$ ten $\mathsf{0}$ como punto fixo, e o resto das órbitas están contidas en esferas, pois $\lVert(e^{\mathsf{i}\theta}z,e^{\mathsf{i}\varphi}w)\rVert=\lVert(z,w)\rVert$. Logo, pode restrinxirse a unha acción en $\mathsf{S}^3\subset\C^2$. A órbita por $(z,z)$ chámase toro de Clifford.

Sexa $G$ un grupo de Lie. Recordemos que dous subgroups $H$ e $K$ de $G$ se din conxugados se existe $g\in G$ tal que $gHg^{-1}=K$. A relación ser conxugados é de equivalencia.

Sexa agora $G\times M\to M$ unha acción de $G$ sobre $M$. Como $G_{g\cdot p}=g G_p g^{-1}$ tódolos grupos de isotropía ó longo dunha órbita son conxugados. Á clase de conxugación común dos subgrupos de isotropía dunha órbita $G\cdot p$ chámaselle o tipo de isotropía de $G\cdot p$.

Dúas órbitas $G\cdot p$ e $G\cdot q$ teñen o mesmo tipo de isotropía se e só se os grupos de isotropía de calquera punto de $G\cdot p$ e calquera punto de $G\cdot q$ son conxugados. É sinxelo ver que a relación te-lo mesmo tipo de isotropía é de equivalencia. Denotaremos por $[G\cdot p]$ á clase de equivalencia do tipo de órbita de $G\cdot p$.

Sexa $G\times M\to M$ unha acción. Dise que é propia se a aplicación $G\times M\to M\times M$, $(g,p)\mapsto (p,g\cdot p)$ é propia.

Se $G\times M\to M$ é unha acción propia entón:

  • O espacio de órbitas $M/G$ é Hausdorff.
  • Os subgrupos de isotropía son subgrupos compactos de $G$.
  • As órbitas son pechadas en $M$.
  • Para cada $p\in M$ existe un homeomorfismo $G$-equivariante $G/G_p\to G\cdot p$.

(da variedade cociente) Sexa $G\times M\to M$ unha acción libre e propia. Entón, o espacio de órbitas $M/G$ é unha variedade topolóxica que admite unha única estructura diferenciable tal que a proxección $\pi\colon M\to M/G$ é unha submersión sobrexectiva. Ademais, $\dim M/G=\dim M-\dim G$.

Sexa $G$ un grupo de Lie e $H$ un subgrupo pechado. Entón o espacio cociente $G/H$ admite unha única estructura de variedade diferenciable que fai que a proxección $\pi\colon G\to G/H$ sexa unha submersión sobrexectiva. Ademais, $\dim G/H=\dim G-\dim H$.

Sexa $G\times M\to M$ unha acción propia. Entón, para cada $p\in M$, a órbita $G\cdot p$ é unha subvariedade regular pechada de $M$ difeomorfa a $G/G_p$.

Sexa $\mathsf{Sym}(n)$ o subespacio das matrices simétricas de orde $n$. Dadas $X,Y\in\mathsf{Sym}(n)$ definimos $\langle X,Y\rangle=\tr X^T Y$. Probar que esta fórmula define un producto interior en $\mathsf{Sym}(n)$. Consideremos agora a acción de $\mathsf{O}(n)$ en $\mathsf{Sym}(n)$ dada por $A\cdot X=AXA^{-1}$. Probar que esta é unha acción que preserva o producto interior de $\mathsf{Sym}(n)$.

Sexa $\Delta$ o subsespacio das matrices diagonais. Probar que $\Delta$ interseca tódalas órbitas da acción de $\mathsf{O}(n)$ sobre $\mathsf{Sym}(n)$. Probar que dita intersección é ortogonal con respecto do producto interior anterior, é dicir, que $T_D\Delta$ é ortogonal a $T_D(\mathsf{O}(n)\cdot D)$ para toda $D\in\Delta$.

Sexa $\mathsf{Sym}^0(n)=\{X\in\mathsf{Sym}(n):\tr X=0\}$ e $\mathsf{S}(\mathsf{Sym}^0(n))=\{X\in\mathsf{Sym}^0(n):\langle X,X\rangle=1\}$. Probar que $\mathsf{S}(\mathsf{Sym}^0(n))$ é invariante pola acción e concluír que isto induce unha nova acción $\mathsf{SO}(n)\times\mathsf{S}(\mathsf{Sym}^0(n))\to\mathsf{S}(\mathsf{Sym}^0(n))$.

Comprobar que para $n=2$, a acción $\mathsf{SO}(2)\times\mathsf{S}(\mathsf{Sym}^0(2))\to\mathsf{S}(\mathsf{Sym}^0(2))$ é transitiva e a isotropía de calquera punto é isomorfa a $\mathbb{Z}_2$.

Comprobar que para $n=3$, a acción $\mathsf{SO}(3)\times\mathsf{S}(\mathsf{Sym}^0(3))\to\mathsf{S}(\mathsf{Sym}^0(3))$ ten como posibles isotropías grupos isomorfos a $\mathsf{O}(2)$ ou a $\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2$.

Variedades homoxéneas

Unha variedade homoxénea é unha variedade sobre a que actúa un grupo de Lie de xeito transitivo.

Se $M$ é unha variedade homoxénea sobre a que actúa un grupo $G$, tamén diremos que $M$ é unha $G$-variedade homoxénea ou un $G$-espacio homoxéneo cando sexa necesario especifica-lo grupo que actúa.

(de variedades homoxéneas)

  • $\mathsf{S}^n$ é un $\mathsf{O}(n+1)$-espacio homoxéneo.
  • $\mathsf{S}^n$ é un $\mathsf{SO}(n+1)$-espacio homoxéneo.
  • $\R^n$ é un $\R^n$-espacio homoxéneo e tamén homoxéneos pola acción dos movementos ríxidos.
  • O hiperplano superior $\R H^2=\{z\in\C:\Im z>0\}$ aberto é un $\mathsf{SL}(2,\R)$-espacio homoxéneo. A acción é mediante unha transformación de Möbius: \[ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}\cdot z =\frac{az+b}{cz+d}. \]
  • $\mathsf{S}^{2n+1}$ é un $\mathsf{U}(n+1)$-espacio homoxéneo.
  • $\mathsf{S}^{2n+1}$ é un $\mathsf{SU}(n+1)$-espacio homoxéneo.
  • $\mathsf{S}^{4n+3}$ é un $\mathsf{Sp}(n+1)$-espacio homoxéneo.

Recordemos que se $G$ é un grupo de Lie e $H$ é un subgrupo pechado, entón $G/H$ é unha variedade diferenciable. De feito $G/H$ é un $G$-espacio homoxéneo, onde a acción vén dada por $G\times G/H\to G/H$, $(g_1,g_2H)\mapsto g_1\cdot g_2 H=g_1g_2H$.

Dado un $G$-espacio homoxéneo $M$, fixemos $o\in M$ e sexa $G_o$ o grupo de isotropía de $G$ en $o$. Como a acción de $G$ é transitiva, $M=G\cdot o$. Polo tanto, $M$ é equivariantemente difeomorfo a $G/G_o$ mediante a aplicación $F\colon G/G_o\to M$, $gG_o\mapsto g\cdot o$.

(de espacios homoxéneos como cocientes de grupos de Lie)

  • $\mathsf{S}^n=\mathsf{SO}(n+1)/\mathsf{SO}(n)$.
  • $\mathsf{S}^n=\mathsf{O}(n+1)/\mathsf{O}(n)$.
  • $\R^n$.
  • $\mathsf{S}^{2n+1}=\mathsf{U}(n+1)/\mathsf{U}(n)$.
  • $\mathsf{S}^{2n+1}=\mathsf{SU}(n+1)/\mathsf{SU}(n)$.
  • As Grassmannianas de $k$-planos en $\R^n$, $\mathsf{G}_k(\R^n)$, son $\mathsf{GL}(n,\R)$-espacios homoxéneos. Ademais, $\mathsf{G}_k(\R^n)=\mathsf{O}(n)/(\mathsf{O}(k)\times\mathsf{O}(n-k))$.
  • Grassmannianas complexas e cuaterniónicas.

Sexa $\C H^1=\{z\in\C:\Im z>0\}$. Definimos \[ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \cdot z =\frac{az+b}{cz+d}. \] Comprobar que a fórmula anterior define unha acción transitiva de $\mathsf{SL}(2,\R)$ sobre $\C H^1$. Ver que a acción non é efectiva. Escribir $\C H^1$ como cociente de grupos de Lie.

(Pode dotarse a $\C H^1$ dunha métrica de Riemann que fai que sexa isométrico ó plano hiperbólico real $\R H^2$ e para o que $\mathsf{SL}(2,\R)$ é o seu grupo de isometrías.)

Representacións de grupos e álxebras de Lie

Sexa $V$ un espacio vectorial de dimensión finita.

Unha representación dun grupo de Lie $G$ en $V$ é unha aplicación diferenciable $\rho\colon G\to\mathsf{GL}(V)$.

Fixémonos en que unha representación de $G$ en $V$ determina unha acción $G\times V\to V$ definida por $g\cdot v=\rho(g)(v)$, $g\in G$, $v\in V$.

Unha representación dunha álxebra de Lie $\g{g}$ en $V$ é un homomorfismo de álxebras de Lie $\phi\colon\g{g}\to\g{gl}(V)$.

No que segue de sección, cando nos refiramos a unha "representación", quereremos dicir, se non se especifica, tanto a unha representación dun grupo coma dunha álxebra de Lie.

Por exemplo, tanto para unha representación dun grupo de Lie como dunha álxebra de Lie, a dimensión da representación é a dimensión de $V$.

Unha representación dise fiel se é inxectiva.

Se $\rho\colon G\to \mathsf{GL}(V)$ é unha representación fiel entón $\rho$ dá un isomorfismo de grupos entre $G$ e $\rho(G)\subset\mathsf{GL}(V)\cong\mathsf{GL}(n,\R)$ para algún $n\in\N$. Por tanto, unha representación fiel vén a ser un xeito de interpretar ou "representar" un grupo de Lie como un grupo matricial. Non todo grupo de Lie admite unha representación fiel.

\[ \begin{array}{rcl} G & \stackrel{\rho}{\longrightarrow} & \mathsf{GL}(V)\\ {\scriptstyle\Exp}\uparrow & \circlearrowright & \uparrow{\scriptstyle e^{\cdot}}\\ \g{g} & \stackrel{\rho_*}{\longrightarrow} & \g{gl}(V) \end{array} \]

Se $\rho\colon G\to \mathsf{GL}(V)$ é unha representación dun grupo de Lie, entón $\rho_*\colon\g{g}\to\g{gl}(V)$ é unha representación dunha álxebra de Lie, e satisfaise que $\rho(\Exp(X))=e^{\rho_* X}$ para todo $X\in\g{gl}(V)$.

Ademais,

  • Se $G$ é conexo e $\rho_1,\rho_2\colon G\to\mathsf{GL}(V)$ son dúas representacións tales que $\rho_{1*}=\rho_{2*}$, entón $\rho_1=\rho_2$.
  • Se $G$ é simplemente conexo hai unha correspondencia un a un entre as representacións de $G$ e as representacións de $\g{g}$.

Dada unha representación $\phi\colon\g{g}\to\g{gl}(V)$ non ten por que existir unha representación $\rho\colon G\to\mathsf{GL}(V)$ tal que $\rho_*=\phi$.

(de representacións)

  • Se $G$ é un subgrupo de $\mathsf{GL}(n,\R)$, entón a inclusión de $G$ en $\mathsf{GL}(\R^n)\cong\mathsf{GL}(n,\R)$ é unha representación fiel.
  • A representación adxunta de grupos $\Ad\colon G\to\mathsf{GL}(\g{g})$ e representación adxunta de álxebras $\ad\colon\g{g}\to\g{gl}(\g{g})$.

Sexa $\rho\colon G\to \mathsf{GL}(V)$ unha representación de grupos de Lie.

Un subespacio $W\subset V$ dise invariante se $\rho(G)(W)\subset W$.

A representación $\rho$ dise irreducible se os únicos subespacios invariantes que ten son $0$ e $V$. En caso contrario a representación dise reducible.

A representación $\rho$ dise completamente reducible se para todo espacio invariante $W$ non trivial existe outro subespacio invariante $U$ tal que $V=W\oplus U$.

Sexa $\phi\colon \g{g}\to \g{gl}(\g{g})$ unha representación de álxebras de Lie.

Un subespacio $W\subset V$ dise invariante se $\phi(\g{g})(W)\subset W$.

A representación $\phi$ dise irreducible se os únicos subespacios invariantes que ten son $0$ e $V$. En caso contrario a representación dise reducible.

A representación $\phi$ dise completamente reducible se para todo espacio invariante $W$ non trivial existe outro subespacio invariante $U$ tal que $V=W\oplus U$.

Sexa $\rho\colon G\to\mathsf{GL}(V)$ unha representación de grupos de Lie. Probar que un subespacio $W\subset V$ é invariante por $\rho$ se e só se é invariante por $\rho_*$. Deducir que $\rho$ é irreducible (resp. reducible, completamente reducible) se e só se $\rho_*$ o é.