Topoloxía Diferencial

Variedades

Comenzamos repasando algúns conceptos básicos sobre variedades.

Unha variedade topolóxica de dimensión $n$ é un espacio topolóxico Hausdorff $M$, segundo numerable e localmente homeomorfo a un aberto de $\R^n$.

Que $M$ sexa localmente homeomorfo a un aberto de $\R^n$ significa que para cada $p\in M$ existe unha veciñanza aberta $U$ de $p$ e un homeomorfismo $\varphi\colon U\to\varphi(U)=V\subset\R^n$.

Dise que $(U,\varphi)$ é unha carta en $p$, $\varphi^{-1}\colon V\to U\subset M$ unha parametrización, e $U$ un aberto coordenado.

Defínense $x^i=r^i\circ\varphi$, onde $r^i(x_1,\dots,x_n)=x_i$ é a $i$-ésima proxección. Dise que $x^1,\dots,x^n$ son funcións coordenadas para o aberto $U$.

Un atlas é unha familia de cartas $\{(U_i,\varphi_i)\}_{i\in I}$ tal que $\cup_{i\in I}U_i=M$.

Probar que $M$ é conexa se e só se $M$ é conexa por camiños.

Unha variedade (diferenciable) é unha variedade topolóxica $M$ dotada dunha estructura diferenciable.

Unha estructura diferenciable dunha variedade é un atlas maximal $\{(U_i,\varphi_i)\}$, con respecto á relación de contido, tal que as aplicacións \[ \varphi_j^{-1}\circ\varphi_i\colon\varphi_i(U_i\cap U_j)\to\varphi_j(U_i\cap U_j) \] son funcións diferenciables de clase $C^\infty$ dun aberto de $\R^n$ noutro aberto de $\R^n$, para todo $i$, $j$ con $U_i\cap U_j\neq\emptyset$.

Ás aplicacións anteriores $\varphi_j^{-1}\circ\varphi_i$ (cando están definidas) acostuma chamárselles funcións de transición ou aplicacións de cambio de cartas.

No caso de $\R^n$ ou dos seus abertos, que trivialmente son variedades, considerarase como estructura diferenciable a que vén dada polo atlas maximal que contén á aplicación identidade.

Nótese que unha variedade topolóxica pode ter máis dunha estructura diferenciable.

Son variedades diferenciables os abertos de $\R^n$, a esfera $\mathsf{S}^n$, o espacio proxectivo real $\R \mathsf{P}^n$, ou as superficies de $\R^3$.

Sexan $M$ e $N$ variedades. Dise que $f\colon M\to N$ é diferenciable en $p\in M$ se hai unha carta $(U,\varphi)$ de $M$ en $p$, e $(V,\psi)$ de $N$ en $\varphi(p)$ tal que $\psi\circ f\circ\varphi^{-1}$ é diferenciable de clase $C^\infty$ nunha veciñanza de $p$.

Denotaremos por $C^\infty(M)$ ó conxunto das funcións diferenciables $f\colon M\to\R$.

Dise que $M$ é paracompacta se todo recubrimento aberto $\{U_i\}_{i\in I}$ de $M$ admite un refinamento $\{V_j\}_{j\in J}$ localmente finito. Dise que $\{V_j\}_{j\in J}$ é un refinamento localmente finito de $\{U_i\}_{i\in I}$ se $\{V_j\}_{j\in J}$ é un recubrimento aberto, para todo $i\in I$ existe $j\in J$ tal que $V_j\subset U_i$, e para cada $p\in M$ existe unha veciñanza $W$ de $p$ tal que $V_j\cap W=\emptyset$ salvo para un número finito de índices $j\in J$.

As variedades son paracompactas.

Unha partición da unidade dunha variedade $M$ subordinada a un recubrimento localmente finito $\{V_j\}_{j\in J}$ é unha familia de funcións diferenciables $\{f_j\colon M\to\R\}_{j\in J}$ tales que

$\mathop{\rm sop} f_j\subset V_j$,
$\{\mathop{\rm sop} f_j\}$ é localmente finito,
$f_j\geq 0$, e
$\sum_{j\in J}f_j=1$.

(existencia de particións da unidade). Para calquera recubrimento localmente finito dunha variedade existe unha partición da unidade subordinada a ese recubrimento.

Sexa $\alpha\colon(-\epsilon,\epsilon)\to M$ unha curva diferenciable con $\alpha(0)=p$. Definimos \[ \alpha'(0)f=\frac{d}{dt}_{\vert 0}(f\circ\alpha)(t)=(f\circ\alpha)'(0), \] para cada función diferenciable $f\in C^\infty(M)$. O operador $\alpha'(0)$ dise que é un vector tanxente. O conxunto de todos eles é o espacio tanxente a $M$ en $p$, denotado $T_p M$.

Definicións equivalentes do espacio tanxente:

Clases de equivalencia de curvas por $p$ coa relación $\alpha\sim\beta\Leftrightarrow(\varphi\circ\alpha)'(0)=(\varphi\circ\beta)'(0)$ para cada carta $(U,\varphi)$ en $p$.
Aplicacións $\R$-lineares $v\colon C^\infty(M)\to\R$ tales que $v(fg)=v(f)g(p)+f(p)v(g)$.
Clases de equivalencia de $\{(U,\varphi,v):(U,\varphi) \text{ carta en }p,\ v\in\R^n\}$ baixo a relación equivalencia $(U,\varphi,u)\sim(V,\psi,v)\Leftrightarrow D(\psi\circ\varphi^{-1})_{\varphi(p)}(u)=v$.

Sexa $(U,\varphi)$ unha carta de $M$ en $p$, $\varphi=(x^1,\dots,x^n)$. Os vectores coordenados $\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_p\equiv(\partial_i)_p$ son os vectores tanxentes definidos como \[ \left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_p(f)\equiv \left(\frac{\partial f}{\partial x^i}\right)_p= \left(\frac{\partial(f\circ\varphi^{-1})}{\partial r^i}\right)({\varphi(p)}). \]

Sexa $f\colon M\to N$ diferenciable. A diferencial de $f$ en $p$ é a aplicación $f_{*p}\colon T_p M\to T_{f(p)} N$ definida como $f_{*p}(v)(g)=v(g\circ f)$, ou ben, $f_{*p}\alpha'(0)=(f\circ\alpha)'(0)$ para unha curva $\alpha$ por $p$.

Se $f\colon M\to\R$ é diferenciable, denótase $df_p\colon T_p M\to \R$ a $df_p(v)=v(f)$.

Defínese o espacio cotanxente $T_p^*M$ como o dual do tanxente $T_pM$.

Satisfaise:

$\{\left(\frac{\partial}{\partial x^1}\right)_p,\dots,\left(\frac{\partial}{\partial x^n}\right)_p\}$ é unha base de $T_p M$.
$\{(dx^1)_p,\dots,(dx^n)_p\}$ é a base dual da anterior, é dicir, $dx^i(\frac{\partial}{\partial x^j})=\delta_j^i$.
Se $v\in T_p M$ entón $v=\sum_{i=1}^n v(x^i)\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_p$.
Se $\alpha\in T_p^*M$ entón $\alpha=\sum_{i=1}^n \alpha\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_p (dx^i)_p$.
$df=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x^i}dx^i$.
$(g\circ f)_{*p}=g_{*f(p)}\circ f_{*p}$.

O fibrado tanxente é a unión disxunta $TM=\sqcup_{p\in M} T_p M$ coa estructura diferenciable inducida por $\widetilde{\varphi}(v_p)=(x^1(p),\dots,x^n(p),a^1,\dots,a^n)$, sendo $(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))$ unha carta, e $v=\sum a^i(\partial_i)_p$. Denótase por $\pi\colon TM\to M$ á proxección canónica. Pode probarse que $TM$ é unha variedade diferenciable de dimensión $2n$.

Similarmente pode definirse o fibrado cotanxente $T^*M=\sqcup_{p\in M}T_p^*M$.

Un campo de vectores é unha sección diferenciable $X\colon M\to TM$ do fibrado tanxente, é dicir, $\pi\circ X=\id_M$.

Unha 1-forma é unha sección diferenciable do fibrado cotanxente.

Ó conxunto dos campos de vectores de $M$ denótaselle $\Gamma(TM)$. O conxunto das $1$-formas en $M$ denótase $\Gamma(T^*M)$ ou $\Lambda^1(M)$.

Equivalen:

$X$ é diferenciable.
$Xf\in C^\infty(M)$ para cada $f\in C^\infty(M)$.
Se $X=\sum X^i\partial_i$, entón cada $X^i$ é diferenciable. (Ademais $X^i=X(x^i)$.)

Dise que $\alpha\colon I\to M$ é unha curva integral de $X\in\Gamma(TM)$ se $\alpha'(t)=X_{\alpha(t)}$ para todo $t$. Os teoremas de ecuacións diferenciais aseguran que todo campo de vectores ten unha única curva integral maximal por cada punto dunha variedade.

De feito, a dependencia diferenciable con respecto das condicións iniciais das ecuacións diferenciais asegura que existe unha solución xeral diferenciable. Isto é o contido do seguinte resultado:

(Existencia de fluxo). Dado $X\in\Gamma(TM)$, hai un aberto $\mathcal{W}$ de $\R\times M$ contendo a $\{0\}\times M$ e unha aplicación $\phi\colon\mathcal{W}\to M$ tal que $\alpha\colon t\mapsto\phi(t,p)$ é a única curva integral maximal de $X$ por $p$ en tempo $t=0$, é dicir, $\alpha(0)=p$, $\alpha'(t)=X_{\alpha(t)}$.

Escríbese $\phi_t(p)=\phi(t,p)$ é chámase a $\phi_t$ o fluxo de $X$. Se $\mathcal{W}=\R\times M$, dise que $X$ é completo.

O fluxo dun campo de vectores $X$ satisfai $\phi_0=\id$, $\phi_t^{-1}=\phi_{-t}$, $\phi_t\circ\phi_s=\phi_{t+s}$.

Nunha variedade compacta tódolos campos de vectores son completos.

Dados $X$, $Y\in\Gamma(TM)$ defínese o corchete de Lie de $X$ e $Y$ como o novo campo de vectores $[X,Y]$ dado por $[X,Y](f)=X(Yf)-Y(Xf)$, para cada $f\in C^\infty(M)$.

Se $X$, $Y\in\Gamma(TM)$ entón:

$[X,Y]\in\Gamma(TM)$.
$[Y,X]=-[X,Y]$.
$[X,fY]=(Xf)Y+f[X,Y]$.
$[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0$ (identidade de Jacobi).
Se $(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))$ é unha carta de $M$ entón $\Bigl[\frac{\partial}{\partial x^i},\frac{\partial}{\partial x^j}\Bigr]=0$ para todo $i, j\in\{1,\dots,n\}$.

En xeral, pode interpretarse que o corchete de Lie mide o lonxe que están dous campos de vectores de ser campos de vectores coordenados. Ademais, o corchete de Lie será unha ferramenta fundamental no estudo dos Grupos de Lie.

Sexa $f\colon M\to N$ unha aplicación diferenciable. Dicimos que $X\in\Gamma(TM)$ e $Y\in\Gamma(TN)$ están $f$-relacionados, $X\sim_f Y$, se $f_{*p}X_p=Y_{f(p)}$ para todo $p\in M$. Probar que se $X_1\sim_f Y_1$ e $X_2\sim_f Y_2$ entón $[X_1,X_2]\sim_f[Y_1,Y_2]$.

Sexan $p\in M$ e $g\in C^\infty(N)$. Fixémonos en que para $i=1,2$ temos \[ \begin{aligned} X_i(g\circ f)(p) &{}=X_i(p)(g\circ f)\\ &{}=f_{*p}(X_i)(g)\\ &{}=Y_i(f(p))(g)\\ &{}=Y_i(g)(f(p)), \end{aligned} \] o que implica $X_i(g\circ f)=Y_i(g)\circ f$.

Entón, \[ \begin{aligned} f_{*p}[X_1,X_2]_p(g) &{}=[X_1,X_2]_p(g\circ f)\\ &{}=X_{1}(p)(X_2(g\circ f))-X_{2}(p)(X_1(g\circ f))\\ &{}=X_1(p)(Y_2(g)\circ f)-X_2(p)(Y_1(g)\circ f)\\ &{}=Y_1(Y_2(g))(f(p))-Y_2(Y_1(g))(f(p))\\ &{}=[Y_1,Y_2]_{f(p)}(g), \end{aligned} \] así que $[X_1,X_2]$ e $[Y_1,Y_2]$ están $f$-relacionados.

Subvariedades

Sexa $f\colon M\to N$ unha aplicación diferenciable entre variedades.

Dise que $f$ é unha inmersión se $f_{*p}$ é inxectiva para cada $p\in M$.
Dise que $f$ é unha submersión se $f_{*p}$ é sobrexectiva para cada $p\in M$.
Dise que $f$ é un difeomorfismo local se $f_{*p}$ é un isomorfismo para cada $p\in M$.
Dise que $f$ é un difeomorfismo se $f$ ten inversa diferenciable.
Dise que $f$ é un mergullo (ou embebemento) se é inmersión inxectiva e $f\colon M\to f(M)$ é un homeomorfismo, onde en $f(M)$ tomámo-la topoloxía relativa.

Sexan $M$ e $N$ dúas variedades, con $M\subset N$, e denotemos por $i\colon M\hookrightarrow N$ a inclusión.

Dise que $M$ é unha subvariedade inmersa se $i$ é unha inmersión.
Dise que $M$ é unha subvariedade regular (mergullada ou embebida) se $i$ é mergullo.

A figura do oito e a recta de pendente irracional no toro son subvariedades inmersas pero non mergulladas

(do rango). Sexa $f\colon M\to N$ diferenciable con rango constante $k$, é dicir, $\dim f_{*p}(T_p M)=k$ para todo $p\in M$. Entón, para cada $p\in M$ existe $(U,\varphi)$ carta de $M$ en $p$ e $(V,\psi)$ carta de $N$ en $f(p)$ tales que \[ (\psi\circ f\circ\varphi^{-1})(x^1,\dots,x^m)=(x^1,\dots,x^k,0,\dots,0). \]

Son equivalentes ó teorema do rango tanto o teorema da función inversa como o teorema da función implícita.

De feito, como consecuencia inmediata do teorema da función inversa (ou do teorema do rango con $n=m=k$) obtemos:

Unha aplicación diferenciable $f\colon M\to N$ é un difeomorfismo local se e só se para cada $p\in M$ hai unha veciñanza $U$ de $p$ onde $f_{\vert U}\colon U\to f(U)$ é inversible e a súa inversa é diferenciable.

Nas hipóteses do teorema do rango, se $q\in N$ entón $f^{-1}(q)$ é unha subvariedade regular pechada de $M$.

\[ \begin{array}{rcl} M\hspace{-3ex} & &\\[-0.5ex] {\scriptstyle f}\downarrow\hspace{-2.5ex} & \hspace{1.5ex}\searrow\hspace{-0.5ex}{}^{g\circ f} & \\[-0.5ex] N\hspace{-3ex} & \stackrel{g}{\longrightarrow} & \hspace{-3ex}L \end{array} \]

Sexa $f\colon M\to N$ unha submersión sobrexectiva. Sexa $L$ outra variedade diferenciable, e $g\colon N\to L$ unha aplicación. Entón $g$ é diferenciable se e só se o é $g\circ f$. \[ \begin{array}{rcl} M\hspace{-3ex} & &\\[-0.5ex] {\scriptstyle f}\downarrow\hspace{-2.5ex} & \hspace{1.5ex}\searrow\hspace{-0.5ex}{}^{g\circ f} & \\ N\hspace{-3ex} & \stackrel{g}{\longrightarrow} & \hspace{-3ex}L \end{array} \]

Se $g$ é diferenciable, entón tamén o é $g\circ f$ por ser composición de diferenciables.

Reciprocamente, supoñamos que $g\circ f$ é diferenciable e vexamos que entón o é tamén $g$. Sexa $q\in N$ e vexámo-la diferenciabilidade de $g$ en $q$. Tomemos $p\in M$ tal que $f(p)=q$. Como $f$ é submersión, polo teorema do rango existen cartas $(U,\varphi)$ de $M$ en $p$ e $(V,\psi)$ de $N$ en $f(p)$ tales que $(\psi\circ f\circ \varphi^{-1})(x,y)=x$. Supoñamos $\varphi(p)=(x_0,y_0)$; así, $\psi(q)=x_0$. Definímo-la aplicación $\sigma\colon\psi(V)\to\varphi(U)$, $x\mapsto (x,y_0)$, que obviamente é diferenciable. Entón, $(f\circ \varphi^{-1}\circ\sigma)(x)=\psi^{-1}\circ(\psi\circ f\circ\varphi^{-1})(x,y_0)=\psi^{-1}(x)$, e así $(g\circ f\circ\varphi^{-1}\circ\sigma)(x)=(g\circ\psi^{-1})(x)$. Como $g\circ f$, $\varphi^{-1}$, e $\sigma$ son diferenciables, tamén o é $g\circ\psi^{-1}$, e en consecuencia, $g$.

Sexa $M\subset N$ unha subvariedade inmersa de dimensión $m$ dentro dunha variedade de dimensión $n$. Entón $M$ é unha subvariedade regular se e só se para cada $p\in M$ existe unha carta $(U,\varphi)$ de $N$ en $p$ tal que $\varphi(U)=A\times B$, con $A$ aberto de $\R^m$, $B$ aberto de $\R^{n-m}$, e $\varphi(U\cap M)=A\times\{0\}$. Nese caso $\{(U\cap M,\varphi_{\vert U\cap M})\}$, onde $(U,\varphi)$ recorre as cartas anteriores, é un atlas de $M$.

Sexa $M$ subvariedade regular de $N$. Probar que se $X$, $Y\in\Gamma(TN)$ son tales que $X_{\vert M}$, $Y_{\vert M}\in\Gamma(TM)$ entón $[X,Y]_{\vert M}\in\Gamma(TM)$.

Simplemente hai que emprega-lo feito de que se $i\colon M\to N$ denota a inclusión, entón $X_{\vert M}$ está $i$-relacionado con $X$ e $Y_{\vert M}$ está $i$-relacionado con $Y$.

(Lema de factorización da imaxe) Sexa $f\colon M\to N$ diferenciable e $L\subset N$ unha subvariedade inmersa. Supoñamos que $f(M)\subset L$. Entón existe unha única aplicación $f_0\colon M\to L$ tal que $i_L\circ f_0=f$. Probar que se $L$ é mergullada, entón $f_0$ é diferenciable.

Supoñamos que $L$ é unha subvariedade mergullada de $N$. Poñamos $m=\dim M$, $n=\dim N$, e $\ell=\dim L$. Sexa $p\in M$ e vexamos que $f_0$ é diferenciable en $p$.

Como $f(p)\in L$ e $L$ é mergullada, pola caracterización das variedades mergulladas existe un carta $(V,\psi)$ en $f(p)$ de xeito que $\psi(V)=A\times B$, onde $A$ é aberto en $\R^\ell$, $B$ é aberto en $\R^{n-\ell}$, e $\psi(V\cap L)=A\times\{\textbf{0}\}$. Como $f\colon M\to N$ é diferenciable en $p$, para a carta anterior existe outra carta $(U,\varphi)$ de $M$ en $p$ tal que $f(U)\subset V$ e $\psi\circ f\circ\varphi^{-1}\colon \varphi(U)\to\psi(V)\subset\R^n$ é diferenciable. Pero como $f(M)\subset L$ esta aplicación restríxese na imaxe a $\psi\circ f_0\circ\varphi^{-1}\colon \varphi(U)\to A\subset\R^\ell$ con diferenciabilidade. Por tanto, $f_0$ é diferenciable.

O lema de factorización non é certo cando a subvariedade $L$ non é mergullada.

O debuxo presenta un contraexemplo gráfico.

Exemplo dunha aplicación que factoriza non diferenciablemente

Sexa $f\colon M\to N$ é unha función diferenciable.

Dise que $p\in M$ é un punto regular de $f$ se $f_{*p}\colon T_p M\to T_{f(p)}N$ é sobrexectiva. En caso contrario, dise que $p$ é un punto crítico. Un punto $q\in N$ dise un valor regular de $f$ se tódolos puntos da súa imaxe recíproca $f^{-1}(q)$ son puntos regulares. Dise que $q$ é un valor crítico en caso contrario.

(do valor regular). Sexa $M$ unha variedade de dimensión $m$, $N$ unha variedade de dimensión $n$, $f\colon M\to N$ diferenciable, e $q\in N$ un valor regular de $f$. Entón $f^{-1}(q)$ é unha subvariedade regular de dimensión $m-n$.

Teorema de Frobenius

O primeiro resultado relevante deste curso é o Teorema de Frobenius, que pasamos a presentar a continuación.

Sexa $M$ unha variedade de dimensión $n$. Unha distribución $\mathcal{D}$ de rango $k$ en $M$ é unha elección diferenciable dun subespacio $\mathcal{D}_p\subset T_p M$ para cada $p\in M$.

A diferenciabilidade enténdese no seguinte sentido: para cada $p\in M$ existe unha veciñanza $U$ de $p$ e campos de vectores $X_1,\dots X_k\in\Gamma(TU)$ tales que $\mathcal{D}_p=\Span\{X_1(p),\dots, X_k(p)\}$.

Se $X\in \Gamma(TM)$, escríbese $X\in \mathcal{D}$ se $X_p\in\mathcal{D}_p$ para cada $p\in M$.

Sexa $\mathcal{D}$ unha distribución en $M$.

Dise que $\mathcal{D}$ é involutiva se para calquera $X$, $Y\in\mathcal{D}$ se ten $[X,Y]\in\mathcal{D}$.

Dise que $N\subset M$ é unha subvariedade integral de $\mathcal{D}$ se $T_p N=\mathcal{D}_p$ para cada $p\in N$.

Dise que $\mathcal{D}$ é integrable se para cada $p\in M$ existe unha subvariedade integral de $\mathcal{D}$ que pasa por $p$.

(de Frobenius). Sexa $\mathcal{D}$ unha distribución en $M$. Entón $\mathcal{D}$ é involutiva se e só se $\mathcal{D}$ é integrable. Máis concretamente, para cada $p\in M$ existe unha carta cúbica $(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))$ (é dicir, $\varphi(U)=(-\epsilon,\epsilon)^n$) de $M$ en $p$ tal que os conxuntos de nivel de $(x^{k+1},\dots,x^n)$ son subvariedades integrais de $\mathcal{D}$; toda subvariedade integral conexa de $U$ está contida nun destes conxuntos de nivel.

A demostración deste resultado farase por inducción. O caso base séguese do lema do fluxo tubular que se presenta a continuación.

(do fluxo tubular). Sexa $M$ unha variedade e $X\in\Gamma(TM)$. Supoñamos que nun punto $p\in M$ temos $X_p\neq 0$. Entón existe unha carta $(U,\varphi)$ de $M$ en $p$ tal que $X_{\vert U}=\partial_1$.

Tomamos unhas coordenadas arbitrarias $(V,\psi=(y^1,\dots,y^n))$ de $M$ en $p$. Compoñéndoas cunha traslación e unha transformación linear se fose necesario, podemos supoñer $\psi(p)=\mathbf{0}$ e $X_p=\bigl(\frac{\partial}{\partial y^1}\bigr)_p$. Tomámo-lo subconxunto de $V$ definido mediante $\Sigma=\{y^1=0\}$. Sexa $\phi_t$ o fluxo de $X$.

Podemos tomar unha veciñanza relativamente compacta $W$ de $p$ en $\Sigma$ tal que $X$ é transversal a $W\subset\Sigma$ (i.e. $X(y^1)\neq 0$ en $W$), e $(-\epsilon,\epsilon)\times W$ está contido no dominio de $\phi_t$. Definimos \[ F\colon (-\epsilon,\epsilon)\times \psi(W)\to M,\quad (t,\mathbf{y})\mapsto\phi_t(\psi^{-1}(\mathbf{y})). \] Resulta que $F$ é un difeomorfismo local en $(0,\mathbf{0})$ pois \[ \begin{aligned} F_{*(0,\mathbf{0})}\Bigl(\frac{\partial}{\partial t}\Bigr) &{}=\frac{d}{dt}_{\vert 0}F(t,\mathbf{0}) =\frac{d}{dt}_{\vert 0}\phi_t(p)\\ &{}=X_p=\Bigl(\frac{\partial}{\partial y^1}\Bigr)_p \end{aligned} \] e $F_{*(0,\mathbf{0})}\psi_{*p}(T_p\Sigma)=\id_{\psi_{*p}(T_p\Sigma)}$, xa que $\phi_0=\id$. Por tanto, existe unha veciñanza $U$ de $F(0,\mathbf{0})=p\in M$ de tal xeito que $\varphi=F^{-1}$ é un difeomorfismo coa imaxe. Así $(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))$ define unha carta en $p$.

Finalmente, \[ \begin{aligned} \Bigl(\frac{\partial}{\partial x^1}\Bigr)_{F(t,\mathbf{y})} &{}=\frac{d}{ds}_{\vert 0}\varphi^{-1}(t+s,\mathbf{y})\\ &{}=\frac{d}{ds}_{\vert 0}F(t+s,\mathbf{y})\\ &{}=\frac{d}{ds}_{\vert 0}\phi_{t+s}(\psi^{-1}(\mathbf{y}))\\[1ex] &{}=\frac{d}{ds}_{\vert 0}\phi_{s}(\phi_t(\psi^{-1}(\mathbf{y})))\\[1ex] &{}=X_{\phi_t(\psi^{-1}(\mathbf{y}))} =X_{F(t,\mathbf{y})}, \end{aligned} \] que é o que faltaba por probar.

Sexan $X_1,\dots,X_n$ campos de vectores nunha variedade $M$ de dimensión $n$ tales que $[X_i,X_j]=0$ para todo $i,j\in\{1,\dots,n\}$, e que son linearmente independentes en $p\in M$. Probar que existe unha carta $(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))$ en $p$ tal que $X_{i}\vert_U=\frac{\partial}{\partial x^i}$, para todo $i\in\{1,\dots,n\}$.

Como este resultado é local, bastará con probalo para un aberto de $\R^n$. O resultado probarase por inducción en $k$, o número de campos de vectores independentes $X_1,\dots,X_k$ tales que $[X_i,X_j]=0$, para todo $i,j\in\{1,\dots,k\}$.

Para $k=1$ o resultado séguese do lema do fluxo tubular.

Supoñamos pois que $X_1,\dots,X_k$ son campos de vectores linearmente independentes tales que $[X_i,X_j]=0$ para todo $i,j\in\{1,\dots,k\}$. Por hipótese de inducción, existe unha carta $(V,\psi=(y^1,\dots,y^n))$ tal que $X_i=\partial_i$ en $V$ para todo $i\in\{1,\dots,k-1\}$.

Poñamos $X_k=\sum_i\lambda^i\partial_i$. Entón, para $j\in\{1,\dots,k-1\}$ temos \[ \begin{aligned} 0 &{}=[X_j,X_k] =[\partial_j,\sum_i\lambda^i\partial_i]\\ &{}=\sum_i\frac{\partial\lambda^i}{\partial y^j} \frac{\partial}{\partial y_i}, \end{aligned} \] de onde obtemos \[ \frac{\partial\lambda^i}{\partial y^j}=0, \] para calquera $i\in\{1,\dots,n\}$ e $j\in\{1,\dots,k-1\}$. É dicir, que cada $\lambda^i$ depende só das variables $y^k,\dots,y^n$.

Sexa $\phi_t$ o fluxo de $X_k$. Podemos supoñer que traballamos nun aberto da forma $(-\epsilon,\epsilon)^n$ e que $p=\mathbf{0}\in\R^n$. Sexa $\Sigma=\{\mathbf{y}\in(-\epsilon,\epsilon)^n:y^k=\dots=y^n=0\}$. Vexamos que para todo $\mathbf{y}\in\Sigma$ se cumple \[ \phi_t(\mathbf{y})=\phi_t(\mathbf{0})+\mathbf{y}. \]

Sexa $\alpha(t)=\phi_t(\mathbf{0})+\mathbf{y}$. Temos que $\alpha(0)=\mathbf{y}$. Como as $\lambda^i$ non dependen das $k-1$ primeiras variables, tampouco dependen do punto de $\Sigma$ elexido. Así, \[ \begin{aligned} \alpha'(t) &{}=\frac{d}{dt}\phi_t(\mathbf{0})\\ &{}=X_k(\phi_t(\mathbf{0}))\\[1ex] &{}=\sum_i\lambda^i(\phi_t(\mathbf{0}))\partial_i\\ &{}=\sum_i\lambda^i(\phi_t(\mathbf{0})+\mathbf{y})\partial_i\\ &{}=X_k(\phi_t(\mathbf{0})+\mathbf{y})\\[1ex] &{}=X_k(\alpha(t)). \end{aligned} \] Por tanto, $\alpha$ é curva integral de $X_k$ por $\mathbf{y}$; por unicidade, obtemos $\alpha(t)=\phi_t(\mathbf{y})$, como queriamos ver.

Agora definimos, onde o fluxo o permita, \[ F(x_1,\dots,x_{k-1},t,x_{k+1},\dots,x_n) =(x_{1},\dots,x_{k-1})+\phi_t(x_{k+1},\dots,x_{n}). \] Entón $DF(\mathbf{0})=(\id\mid X_k\mid \id)$, que é non singular pois $\partial_1,\dots,\partial_{k-1},X_k$ son independentes. O difeomorfismo buscado é $\varphi=F^{-1}$ xa que \[ \begin{aligned} F_*\frac{\partial}{\partial x_j}&{}=\frac{\partial}{\partial x_j},\quad j\in\{1,\dots,k-1\},\\ F_*\frac{\partial}{\partial x_k}&{}=X_k, \end{aligned} \] o que remata a demostración.

Agora acabámo-la demostración do Teorema de Frobenius.

(do teorema de Frobenius). Queda como exercicio probar que se unha distribución é integrable entón tamén é involutiva. Farémo-la implicación recíproca por inducción en $k=\dim\mathcal{D}$. O caso $k=1$ dedúcese facilmente do lema do fluxo tubular.

Supoñámo-lo teorema certo para rango $k-1$ e poñamos que o rango de $\mathcal{D}$ é $k=\dim\mathcal{D}$. Sexa $p\in M$ e escribamos localmente $\mathcal{D}=\Span\{X_1,\dots,X_k\}$, $X_i\in\Gamma(TM)$. Polo lema do fluxo tubular podemos atopar unha carta $(V,\psi=(y^1,\dots,y^n))$ de $M$ en $p$ tal que $X_{1\vert V}=\frac{\partial}{\partial y^1}$; podemos supoñer $\psi(p)=\mathbf{0}$, compoñendo cunha traslación se fose necesario.

Definimos $Y_1=X_1=\frac{\partial}{\partial y^1}$ e \[ Y_i=X_i-X_i(y^1)\frac{\partial}{\partial y^1},\ i\in\{2,\dots,k\}. \] Temos que $\mathcal{D}=\Span\{Y_1,\dots,Y_k\}$. En $V$ tomámo-lo subconxunto $\Sigma=\{y^1=0\}$, e definimos $Z_i=Y_{i\vert\Sigma}$. Como $Y_i(y^1)=0$ para $i\in\{2,\dots,k\}$ resulta que $Z_i\in\Gamma(T\Sigma)$, $i\in\{2,\dots,k\}$. Sexa $\widetilde{\mathcal{D}}=\Span\{Z_2,\dots,Z_k\}$. Ademais $[Y_i,Y_j](y^1)=Y_i Y_j(y^1)-Y_j Y_i(y^1)=0$, $i$, $j\in\{2,\dots,k\}$. Como $\mathcal{D}$ é involutiva, $[Y_i,Y_j]\in\mathcal{D}$, pero ó ser $[Y_i,Y_j](y^1)=0$, en realidade $[Y_i,Y_j]\in\Span\{Y_2,\dots,Y_k\}$, para todo $i, j\in\{2,\dots,k\}$. Restrinxíndonos a $\Sigma$, concluímos que $\widetilde{\mathcal{D}}$ é involutiva.

Por ter $\widetilde{\mathcal{D}}$ rango $k-1$ podemos emprega-la hipótese de inducción, e así $\widetilde{\mathcal{D}}$ é integrable en $\Sigma$. De feito, sexa $(W,\xi=(z^2,\dots,z^n))$ unha carta cúbica de $\Sigma$ en $p$ tal que as ecuacións $(z^{k+1},\dots,z^n)=\text{constante}$ son subvariedades integrais de $\widetilde{\mathcal{D}}$. En particular $\widetilde{\mathcal{D}}=\Span\{\frac{\partial}{\partial z^2},\dots,\frac{\partial}{\partial z^k}\}$.

Tomámo-las coordenadas $(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))$ en $p$ definidas mediante \[ \begin{aligned} x^1&{}=y^1,\\ x^i(q)&{}=z^i(\psi^{-1}(0,y^2(q),\dots,y^n(q))),\ i\in\{2,\dots,n\}. \end{aligned} \]

É sinxelo ver que se $q\in\Sigma$ entón $x^i(q)=z^i(q)$, $i\in\{2,\dots,n\}$. Se $i\in\{2,\dots,n\}$, \[ \begin{aligned} \frac{\partial x^i}{\partial y^1} &{}=\frac{d}{dt}(x^i\circ\psi^{-1})(y^1+t,y^2,\dots,y^n)\\ &{}=\frac{d}{dt}z^i\psi^{-1}(0,y^2\psi^{-1}(y^1+t,y^2,\dots,y^n),\dots, y^n\psi^{-1}(y^1+t,y^2,\dots,y^n))\\ &{}=\frac{d}{dt}z^i\psi^{-1}(0,y^2,\dots,y^n)=0. \end{aligned} \] De todo isto séguese que, nunha veciñanza $U$ de $p$, $\varphi=(x^1,\dots,x^n)$ é un difeomorfismo, e por tanto, define un sistema de coordenadas, que podemos supoñer que é cúbico. Falta por ver que $\mathcal{D}=\Span\{\frac{\partial}{\partial x^1},\dots,\frac{\partial}{\partial x^k}\}$.

En primeiro lugar, da ecuación anterior obtemos $Y_1=\frac{\partial}{\partial y^1}=\sum\frac{\partial x^i}{\partial y^1}\frac{\partial}{\partial x^i}=\frac{\partial}{\partial x^1}$.

Fixemos agora $i\in\{2,\dots,n\}$ e $(x^2,\dots,x^n)\in\R^{n-1}$. Queremos probar $Y_i(x^j)=0$ se $j>k$; iso significaría que $Y_i\in\Span\{\frac{\partial}{\partial x^1},\dots,\frac{\partial}{\partial x^k}\}$. Definimos \[ F_j(t)=(Y_i(x^j)\circ\varphi^{-1})(t,x^2,\dots,x^n),\ j\in\{k+1,\dots,n\}. \] Como $\mathcal{D}$ é involutiva podemos poñer $[Y_1,Y_i]=\sum_s c_{1i}^s Y_s$ para certas funcións $c_{1i}^s$. Temos \[ \begin{aligned} \frac{dF_j}{dt} &{}=\frac{\partial (Y_i(x^j)\circ\varphi^{-1})}{\partial r^1} =\frac{\partial}{\partial x^1}Y_i(x^j)\circ\varphi^{-1}\\ &{}=\Bigl[\frac{\partial}{\partial x^1},Y_i\Bigr](x^j)\circ\varphi^{-1}+Y_i\frac{\partial}{\partial x^1}(x^j)\circ\varphi^{-1}\\[1ex] &{}=\sum_s c_{1i}^s Y_s(x^j)\circ\varphi^{-1}=\sum_s c_{1i}^s F_s, \end{aligned} \] Ademais, restrinxíndonos a $\Sigma$ e tendo en conta que $\tilde{\mathcal{D}}$ é integrable, \[ \begin{aligned} F_j(0) &{}=Y_i(x^j)\circ\varphi^{-1}(0,x^2,\dots,x^n)\\ &{}=Z_i(z^j)\circ\xi^{-1}(x^2,\dots,x^n)=0. \end{aligned} \] Por se-la anterior unha ecuación diferencial linear homoxénea, as condicións iniciais implican $F_j=0$ identicamente. Por tanto $Y_i(x^j)=0$ para todo $i\in\{2,\dots,k\}$ e $j\in\{k+1,\dots,n\}$. Logo, $\mathcal{D}=\Span\{\frac{\partial}{\partial x^1},\dots,\frac{\partial}{\partial x^k}\}$, que é o que faltaba por ver.

Sexa $\mathcal{D}$ un distribución involutiva nunha variedade $M$ e $(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))$ unha carta adaptada dada polo teorema de Frobenius. Sexa $N$ unha subvariedade integral de $\mathcal{D}$. Entón $U\cap N$ é unha unión dixunta numerable de conxuntos abertos contidos en conxuntos de nivel de $(x^{k+1},\dots,x^n)$, cada un dos cales é aberto en $N$ e mergullado en $M$.

Sexa $i\colon N\to M$ a inclusión, que é unha inmersión continua (pero non necesariamente un mergullo). Como $N\cap U=i^{-1}(U)$ é aberto en $N$, e $N$ é unha variedade, $N\cap U$ é unión numerable de compoñentes conexas abertas. Sexa $V$ unha desas compoñentes conexas. Como $\mathcal{D}$ está xerado por $\frac{\partial}{\partial x_1},\dots,\frac{\partial}{\partial x_k}$, temos que $\varphi(V)$ é tanxente a $\frac{\partial}{\partial r_1},\dots,\frac{\partial}{\partial r_k}$; por tanto, $\varphi(V)$, escrito en coordenadas, só depende das $k$ primeiras coordenadas. Dado que $V$ é conexo, deducimos que $V$ está contido nun conxunto de nivel de $(x^{k+1},\dots,x^n)$. Ademais, cada un destes conxuntos de nivel é unha subvariedade mergullada de $M$. Finalmente, un aberto dentro dun aberto mergullado é á súa vez un aberto mergullado.

Sexa $f\colon M\to N$ diferenciable, $L$ unha subvariedade integral dunha distribución involutiva $\mathcal{D}$ en $N$, e que $f(M)\subset L$. Entón, a aplicación $f_0\colon M\to L$ tal que $i_L\circ f_0=f$ é diferenciable.

Supoñamos que $L$ é unha subvariedade integral dunha distribucion $\mathcal{D}$ en $N$ de rango $k$. Poñamos $m=\dim M$, $n=\dim N$. Sexa $p\in M$ e vexamos que $f_0$ é diferenciable en $p$.

Como $f(p)\in L$ e $L$ é unha subvariedade integral de $\mathcal{D}$, polo Teorema de Frobenius existe un carta $(V,\psi)$ en $f(p)$ de xeito que $\psi(V)=(-\epsilon,\epsilon)^n$ e os conxuntos de nivel de $(y^{k+1},\dots,y^n)$ son subvariedades integrais de $\mathcal{D}$. Como $f\colon M\to N$ é diferenciable en $p$, para a carta anterior existe outra carta $(U,\varphi)$ de $M$ en $p$, con $U$ conexo, tal que $f(U)\subset V$ e $\psi\circ f\circ\varphi^{-1}\colon \varphi(U)\to\psi(V)\subset\R^n$ é diferenciable. Pola estructura local das subvariedades integrais, $V\cap L$ ten como moito unha cantidade numerable de compoñentes conexas. Sexa $\pi=(x^{k+1},\dots,x^n)$ a proxección. Logo, $(\pi\circ\psi\circ f)(U)$ é como moito un conxunto numerable, que tamén é conexo por selo $U$. Polo teorema do valor medio deducimos que $\pi\circ\psi\circ f$ é constante. Por tanto, $f(U)$ está contido nun único conxunto de nivel de $\pi$, o cal quere dicir que $f_0$ é diferenciable.

A continuación presentámo-la versión global do teorema.

(de Frobenius global) Sexa $\mathcal{D}$ unha distribución involutiva de rango $k$ nunha variedade $M$. Entón por cada punto pasa unha única subvariedade integral conexa maximal. As subvariedades integrais conexas maximais son subvariedades inmersas de dimensión $k$ que forman unha familia disxunta que ten por unión toda a variedade $M$.

Variedades con borde

Considerámo-lo conxunto $H^n=\{\mathbf{x}\in\R^n: x_n\geq 0\}$.

Unha variedade topolóxica con borde de dimensión $n$ é un espacio topolóxico Hausdorff $M$, segundo numerable e localmente homeomorfo a un aberto de $H^n$.

variedade con borde — Variedade con borde

Que $M$ sexa localmente homeomorfo a un aberto de $H^n$ significa que para cada $p\in M$ existe unha veciñanza aberta $U$ de $p$ e un homeomorfismo $\varphi\colon U\to\varphi(U)=V\subset H^n$.

Igual que para variedades sen borde, dise que $(U,\varphi)$ é unha carta en $p$, e $U$ un aberto coordenado. Defínense $x^i=r^i\circ\varphi$, onde $r^i$ é a $i$-ésima proxección. Dise que $x^1,\dots,x^n$ son as funcións coordenadas no aberto $U$.

Un atlas é unha familia de cartas $\{(U_i,\varphi_i)\}_{i\in I}$ tal que $\cup_{i\in I}U_i=M$.

Os puntos das variedades con borde poden clasificarse en dous tipos.

puntos interiores e borde de variedades con borde — Puntos interiores e do borde

Sexa $M$ unha variedade con borde, e $p\in M$.

Dise que $p$ é un punto interior de $M$ se hai unha carta $\varphi\colon U\to\varphi(U)\subset H^n$ tal que $\varphi(p)\in\mathop{\rm Int}(H^n)$. O conxunto dos puntos interiores denótase por $\mathop{\rm Int}(M)$.

Dise que $p$ é un punto do borde de $M$ se hai unha carta $\varphi\colon U\to\varphi(U)\subset H^n$ tal que $\varphi(p)\in\partial H^n$. O conxunto de puntos do borde denótase por $\partial M$.

Pode probarse que os puntos interiores e os puntos do borde son conxuntos disxuntos, e que a súa unión é toda a variedade.

Sexa $A\subset\R^n$. Unha función $f\colon A\to\R^k$ dise diferenciable se existe un aberto $U$ de $\R^n$ e unha función diferenciable $F\colon U\to\R^k$ tal que $F_{\vert A}=f$.

Unha variedade con borde (diferenciable) é unha variedade topolóxica con borde $M$ dotada dun atlas maximal $\{(U_i,\varphi_i)\}$ tal que os cambios de cartas \[ \varphi_j^{-1}\circ\varphi_i\colon\varphi_i(U_i\cap U_j)\to\varphi_j(U_i\cap U_j) \] son diferenciables no sentido anterior para todo $i$, $j$ con $U_i\cap U_j\neq\emptyset$.

Se $M$ e $N$ son variedades con borde, dise que $f\colon M\to N$ é diferenciable en $p\in M$ se hai unha carta $(U,\varphi)$ de $M$ en $p$ e unha carta $(V,\psi)$ de $N$ en $\varphi(p)$ tal que $\psi\circ f\circ\varphi^{-1}$ é diferenciable no sentido anterior nunha veciñanza de $p$.

(de Brouwer da invarianza do dominio). Sexa $U\subset\R^n$ aberto e $f\colon U\to\R^n$ continua e inxectiva. Entón $f(U)$ é aberto.

Sexa $M$ unha variedade con borde. Proba-las seguintes afirmacións:

$\mathop{\rm Int}(M)\cap\partial M=\emptyset$.
$\mathop{\rm Int}(M)$ é un aberto denso, non baleiro, e variedade de dimensión $n$.
$\partial M$, se é non baleiro, é pechado e variedade de dimensión $n-1$.
$M$ é conexa se e só se $\mathop{\rm Int}(M)$ é conexa.

Os vectores tanxentes a unha variedade diferenciable con borde poden definirse de xeito similar a variedades sen borde. Non obstante, a definición habitual mediante curvas non funciona neste caso, así que poderemos tomar calquera das dúas seguintes, que son equivalentes:

Aplicacións $\R$-lineares $v\colon C^\infty(M)\to\R$ tales que $v(fg)=v(f)g(p)+f(p)v(g)$.
Clases de equivalencia de $\{(U,\varphi,v):(U,\varphi)\text{ carta en }p,\ v\in\R^n\}$ baixo a relación equivalencia $(U,\varphi,u)\sim(V,\psi,v)\Leftrightarrow D(\psi\circ\varphi^{-1})_{\varphi(p)}(u)=v$.

A partir de aquí, conceptos como espacio tanxente, campos de vectores, etc. defínense de xeito análogo.

Como cuestión de notación, se $f\colon M\to N$ é unha función diferenciable entre variedades con borde, denótase $\partial f=f\vert_{\partial M}\colon\partial M\to N$ á aplicación borde, que non é máis cá restrición de $f$ ó borde de $M$.

Sexa $M$ unha variedade con borde. Dicimos que $X\subset M$ é unha subvariedade propiamente mergullada de $M$ de dimensión $k$ se para cada $p\in X$ existe unha carta $(U,\varphi)$ de $M$ en $p$ tal que $\varphi(U\cap X)=\varphi(U)\cap H^k$ (onde se entende que a inclusión $H^k\subset H^n$ é dada por $(x^1,\dots,x^k)\mapsto (0,\dots,0,x^1,\dots,x^k)$.

(do valor regular). Sexa $M$ unha variedade con borde de dimensión $m$, $N$ unha variedade (sen borde) de dimensión $n$, $f\colon M\to N$ diferenciable, e $q\in N$ un valor regular de $f$ e de $\partial f$. Entón $f^{-1}(q)$ é unha subvariedade propiamente mergullada de dimensión $m-n$, e $\partial\bigl(f^{-1}(q)\bigr)=f^{-1}(q)\cap \partial M$.

Teoremas de mergullo

Nesta sección tratamos de responder á seguinte pregunta: ¿Pódese embeber unha variedade $M$ en $\R^N$ con $N$ suficientemente grande? ¿Cal é o menor $N$? Neste curso centrarémonos só en variedades compactas e no chamado teorema feble de Whitney.

Existe unha función $h\colon\R^n\to\R$ diferenciable tal que $h(\R^n)=[0,1]$, $h^{-1}(1)=B[\mathbf{0},1/2]$, $h^{-1}(0)=\R^n\setminus B(\mathbf{0},1)$.

A unha función como a anterior chámaselle función meseta. En realidade, as funcións meseta son necesarias para proba-la existencia de particións da unidade.

A seguinte proposición responde á pregunta inicial no suposto de que a variedade sexa compacta. Máis adiante daremos un enunciado un pouco máis xeral, aínda que a resposta máis avanzada está fóra dos obxectivos do curso.

Sexa $M$ unha variedade compacta. Entón existe un mergullo de $M$ en $\R^N$ con $N$ suficientemente grande.

Para cada $p\in M$ sexa $(U_p,\varphi_p)$ carta de $M$ en $p$ tal que $\varphi_p(p)=\mathbf{0}$ e $B_{\R^n}[\mathbf{0},1]\subset\varphi_p(U_p)$. Definimos $V_p=\varphi_p^{-1}(B(\mathbf{0},1))$ e $W_p=\varphi_p^{-1}(B(\mathbf{0},1/2))$. Considerémo-la función meseta $h$ definida no lema anterior.

Como $\{W_p\}_{p\in M}$ é un recubrimento aberto de $M$ e $M$ é compacta, podemos extraer un subrecubrimento finito $\{W_{p_1},\dots,W_{p_k}\}$. Para cada $i\in\{1,\dots,k\}$ definimos: \[ \begin{aligned} h_i\colon M\to\R,\quad & p\mapsto h_i(p)= \begin{cases} h(\varphi_{p_i}(p)), & p\in U_{p_i},\\[1ex] 0, & p\in M\setminus\overline{V_{p_i}}. \end{cases}\\[2ex]% \hat{\varphi}_i\colon M\to\R^n,\quad & p\mapsto \hat{\varphi}(p)= \begin{cases} h_i(p)\varphi_{p_i}(p), & p\in U_{p_i},\\[1ex] \mathbf{0}, & p\in M\setminus\overline{V_{p_i}}. \end{cases}\\ \end{aligned} \]

As funcións anteriores son diferenciables e ademais $\hat{\varphi}_{i\vert W_{p_i}}=\varphi_{i\vert W_{p_i}}$ é un difeomorfismo. Agora podemos definir $f\colon M\to(\R^n\times\R)^k\equiv\R^{nk+k}$ mediante \[ f(p)=((\hat{\varphi}_1(p),h_1(p)),\dots,(\hat{\varphi}_k(p),h_k(p))), \] que é unha función diferenciable. Esta aplicación é de rango máximo pois cada $p\in M$ está nalgún $W_{p_i}$. Vexamos que é inxectiva. Se $p,q\in M$ son tales que $p,q\in W_{p_i}$ para algún $i$, entón $f(p)=f(q)$ implica $\hat{\varphi}_i(p)=\hat{\varphi}_i(q)$, co que $p=q$. Se pola contra, $p\in W_{p_i}$, $q\notin W_{p_i}$, temos $h_i(p)=1$ e $h_i(q)\neq 1$. Finalmente a función $f$ é un mergullo porque é continua, inxectiva e está definida nun compacto.

O resultado anterior segue sendo válido para variedades con borde, non necesariamente compactas, aínda que a demostración require ser adaptada.

A continuación presentamos un dos teoremas máis importantes das matemáticas.

(de Sard). Sexa $U\subset\R^n$ e $f\colon U\to\R^p$ de clase $C^\infty$. Entón o conxunto dos valores críticos de $f$ ten medida nula en $\R^p$.

Definimos \[ \begin{aligned} C &{}=\{\mathbf{x}\in U:\mathop{\rm rango} Df(\mathbf{x})<p\},\\ C_i &{}=\Bigl\{\mathbf{x}\in U: \frac{\partial^j f}{\partial x_{k_1}\cdots\partial x_{k_j}}(\mathbf{x})=0,\ \forall\,j\in\{1,\dots,i\}\Bigr\}. \end{aligned} \] É evidente que $C\supset C_1\supset C_2\supset\dots$

Paso 1: $\mu(f(C\setminus C_1))=0$.

Se $p=1$, entón $C_1=C$, e non hai nada que probar. Supoñamos $p\geq 2$. Facémo-la demostración desta afirmación por inducción en $n$. O caso $n=0$ é trivial, así que supoñemos $n\geq 1$.

Paso 1.1: Para todo $\mathbf{y}\in C\setminus C_1$ existe unha veciñanza aberta $V$ de $\mathbf{y}$ tal que $\mu(f(V\cap C))=0$.

Fixemos $\mathbf{y}\in C\setminus C_1$, e supoñamos $\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\mathbf{y})\neq 0$. Definimos \[ h\colon U\to\R^n,\quad \mathbf{x}\mapsto h(\mathbf{x})=(f_1(\mathbf{x}),x_2,\dots,x_n). \] Como $\det Dh(\mathbf{y})=\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\mathbf{y})\neq 0$, o Teorema da función inversa permite restrinxírmonos a un difeomorfismo $h\vert_V\colon V\to V'$. Tomamos \[ g=f\vert_V\circ(h\vert_V)^{-1}: V'\stackrel{(h\vert_V)^{-1}}{\longrightarrow} V \stackrel{f\vert_V}{\longrightarrow} \R^p. \] Definimos $C'=\{\mathbf{x}\in V':\mathop{\rm rango} Dg(\mathbf{x})<p\}$. Entón $C'=h(V\cap C)$, e por tanto, $g(C')=g(h(V\cap C))=f(V\cap C)$.

Vexamos que $V$ é a veciñanza de $\mathbf{y}$ buscada, é dicir, $\mu(g(C'))=0$.

Temos $g(f_1(\mathbf{x}),x_2,\dots,x_n))=f(\mathbf{x})=(f_1(\mathbf{x}),\dots)$, é dicir, que $g$ deixa a primeira coordenada constante. Así, para $t\in\R$ fixado definimos \[ g^t\colon(\{t\}\times\R^{n-1})\cap V'\to\{t\}\times\R^{p-1}, \] dada por $g^t(x_2,\dots,x_n)=(t,g_2^t(x_2,\dots,x_n),\dots,g_p^t(x_2,\dots,x_n))$. Entón a diferencial de $g$ é da forma \[ Dg=\left(\begin{array}{c|c} 1 & \mathbf{0}\\ \hline * & Dg^t \end{array}\right). \] Definimos $C_t'=\bigl\{(t,\mathbf{z})\in\{t\}\times\R^{n-1}:\mathop{\rm rango} Dg^t(\mathbf{z})<p-1\bigr\}$. Pola expresión anterior resulta $g\bigl(C'\cap(\{t\}\times\R^{n-1})\bigr)=\{t\}\times g^t(C_t')$.

Teorema de Fubini:

Se $f$ é integrable en $X\times Y$ entón \[ \begin{aligned} &\int_{X\times Y}f(x,y)\,{\rm d}(x,y)\\ &{}=\int_X\Bigl(\int_Y f(x,y)\,{\rm d}y\Bigr)\,{\rm d}x \end{aligned} \]

Por hipótese de inducción $g^t(C_t')$ ten medida nula en $\R^{p-1}$. Polo Teorema de Fubini, $g(C')=\cup_t\bigl(\{t\}\times g^t(C_t')\bigr)$ ten medida nula en $\R^p$, que é o que queriamos probar.

Teorema de Fubini: Se $f$ é integrable en $X\times Y$ entón \[ \int_{X\times Y}f(x,y)\,{\rm d}(x,y) =\int_X\Bigl(\int_Y f(x,y)\,{\rm d}y\Bigr)\,{\rm d}x. \]

Paso 1.2. Como $\R^n$ é segundo numerable, polo Paso 1.1 $f(C\setminus C_1)$ está contido nunha unión numerable de conxuntos de medida nula. Logo $\mu(f(C\setminus C_1))=0$.

Paso 2: $\mu(f(C_i\setminus C_{i+1}))=0$ para todo $i$.

A demostración deste feito é similar á do Paso 1 e déixase como exercicio.

Paso 3: Se $i>\frac{n}{p}-1$ entón $\mu(f(C_i))=0$.

Paso 3.1: Se $K\subset U$ é un cubo de lado $\epsilon$, entón $\mu(f(C_i\cap K))=0$.

subdividir un cubo en cubos máis pequenos — Subdividindo un cubo en cubos máis pequenos

Para cada $r\in\N$ dividimos $K$ en $r^n$ cubos de lado $\epsilon/r$. Sexa $K_1$ un deses cubos. Se $C_i\cap K_1=\emptyset$ é claro que $\mu(f(C_i\cap K_1))=0$, así que supoñamos $C_i\cap K_1\neq\emptyset$ e tomemos $\mathbf{x}\in C_i\cap K_1$. Se $\mathbf{x}+\mathbf{h}\in K_1$, entón $\lVert\mathbf{h}\rVert\leq\delta(K_1)=\epsilon\sqrt{n}/r$.

Por compacidade existe $\beta>0$ tal que $\lVert D^{i+1}f\rVert\leq\beta$ en $K$.

Polo teorema de Taylor, e tendo en conta que $Df(\mathbf{x})=(D^2 f)(\mathbf{x})=\dots=(D^i f)(\mathbf{x})=\mathbf{0}$, temos que $f(\mathbf{x}+\mathbf{h})=f(\mathbf{x}) +\frac{1}{(i+1)!}(D^{i+1}f)(\mathbf{c})(\mathbf{h},\dots,\mathbf{h})$ para algún $\mathbf{c}\in K$. Por tanto, para todo $\mathbf{h}\in\R^n$, \[ \lVert f(\mathbf{x}+\mathbf{h})-f(\mathbf{x})\rVert \leq\frac{\beta}{(i+1)!}\Bigl(\frac{\epsilon}{r}\sqrt{n}\Bigr)^{i+1} =\frac{\sigma}{r^{i+1}}, \] onde $\sigma=\frac{\beta\epsilon^{i+1}n^{(i+1)/2}}{(i+1)!}$. Isto significa que $f(K_1)\in B_\infty\bigl[f(\mathbf{x}),\frac{\sigma}{r^{i+1}}\bigr]$. Como hai $r^n$ destes cubos \[ \begin{aligned} \mu(f(C_i\cap K)) &{}\leq r^n\mu\Bigl(B_\infty\bigl[*,\frac{\sigma}{r^{i+1}}\bigr]\Bigr)\\ &{}= (2\sigma)^p\, r^{n-(i+1)p}\ \stackrel{r\to \infty}{\longrightarrow} 0, \end{aligned} \] Por tanto, $\mu(f(C_i\cap K))=0$, como queriamos ver.

Paso 3.2. Como $C_i$ se pode escribir como unión numerable de cubos contidos en $U$, e a unión de todos eles ten medida nula polo Paso 3.1, obtemos $\mu(f(C_i))=0$.

Fin da proba.

Basta tomar $i>\frac{n}{p}-1$ e escribir \[ C=(C\setminus C_1)\cup(C_1\setminus C_2)\cup\dots\cup(C_{i-1}\setminus C_i)\cup C_i. \] Polos pasos anteriores, a imaxe de tódolos conxuntos expresados nesa unión ten medida nula, así que $\mu(f(C))=0$.

A versión para variedades pode deducirse facilmente a partir de aquí despois de introduci-lo concepto de conxunto de medida nula. Este concepto pode definirse sen necesidade de dota-la variedade dunha forma de volume.

Sexa $M$ unha variedade. Dicimos que $X\subset M$ é un conxunto de medida nula en $M$ se para toda carta $(U,\varphi)$ de $M$ se ten que $\mu(\varphi(U\cap X))=0$ en $\R^n$.

(de Morse-Sard). Sexa $f\colon M\to N$ unha aplicación diferenciable entre variedades con borde. Entón o conxunto dos valores críticos de $f$ ten medida nula.

Tomamos $(V,\psi)$ unha carta de $N$. Como $M$ é segundo numerable, podemos recubrir $f^{-1}(V)$ cunha cantidade numerable de cartas $(U_i,\varphi_i)$.

Entón basta con aplica-lo Teorema de Sard para cada unha das funcións $\psi\circ f\circ\varphi_i^{-1}$, e recordar que a unión numerable de conxuntos de medida nula tamén ten medida nula.

A continuación presentamos algunhas consecuencias do Teorema de Morse-Sard.

Definición da curvatura de Gauss.

A definición da curvatura de Gauss tal e como aparece nas disquisitiones é \[ K(p)=\lim_{R\to\{p\}}\frac{A(\mathbf{N}(R))}{A(R)}, \] onde $A$ denota a área dun conxunto, $R$ unha rexión contendo o punto $p$ da superficie $M$, e $\mathbf{N}$ é a aplicación de Gauss. Vexamos que esta definición se corresponde coa definición habitual (tomando como rexións bólas xeodésicas centradas en $p$).

En efecto, sexa $D$ o conxunto de puntos da superficie onde a aplicación de Gauss $\mathbf{N}$ é un difeomorfismo. Entón \[ \begin{aligned} K(p) &{}=\lim_{r\to 0}\frac{A(\mathbf{N}(B_p(r)))}{A(B_p(r))}\\ &{}=\lim_{r\to 0} \frac{A(\mathbf{N}(B_p(r)\cap D))+A(\mathbf{N}(B_p(r)\cap (M\setminus D)))}{A(B_p(r))}\\ &{}\stackrel{(1)}{=}\lim_{r\to 0} \frac{\int_{\mathbf{N}(B_p(r)\cap D)}\det D\mathbf{N}}{A(B_p(r))}\\ &{}\stackrel{(2)}{=}\lim_{r\to 0} \frac{\det(D\mathbf{N}(q_r))A(B_p(r))}{A(B_p(r))}\\[1ex] &{}=\det(D\mathbf{N}(p)), \end{aligned} \] onde: (1) polo Teorema de Morse-Sard $M\setminus D$ ten medida cero, e en $D$ aplicámo-lo Teorema do cambio de variable co signo determinado pola orientación, (2) aplicámo-lo Teorema do valor medio (para algún $q_r$) e temos en conta que $B_p(r)$ e $B_p(r)\cap D$ teñen a mesma medida.

Non hai retraccións diferenciables dunha variedade compacta con borde no seu borde.

Supoñamos que $f\colon M\to \partial M$ fose unha aplicación diferenciable con $\partial f=f\vert_{\partial M}=\id_{\partial M}$. Polo Teorema de Morse-Sard, $f$ ten un valor regular $q\in\partial M$; se non, $f(M)=\partial M$ tería medida nula. Polo teorema do valor regular (para variedades con borde), $f^{-1}(q)$ é unha variedade con borde de dimensión 1, e $\partial \bigl(f^{-1}(q)\bigr)=f^{-1}(q)\cap\partial M=\{q\}$. Pero logo $f^{-1}(q)$ é homeomorfo a $[0,1)$, o que non pode ser, pois $f^{-1}(q)$ é compacta (por ser pechada).

(de Brouwer diferenciable do punto fixo). Toda aplicación diferenciable $f\colon D^n\to D^n$ do disco $n$-dimensional en si mesmo ten un punto fixo.

Supoñamos pola contra que a función $f$ non ten puntos fixos.

Teorema de Brouwer do punto fixo

Isto permite defini-la aplicación $g\colon D^n\to \mathsf{S}^{n-1}$ do seguinte xeito: a imaxe $g(\mathbf{x})$ dun punto $\mathbf{x}\in D^n$ vén dada pola intersección da semirrecta (orientada) que empeza no punto $f(\mathbf{x})$ e pasa por $\mathbf{x}$ coa esfera $\mathsf{S}^{n-1}=\partial D^n$ que é o borde do disco considerado.

Pódese probar con métodos elementais que $g$ é unha función diferenciable (exercicio).

Isto dá lugar a un absurdo, pois define unha retracción diferenciable entre un disco e o seu borde, o que contradí o teorema anterior.

(Teorema do punto fixo de Brouwer). Toda aplicación continua $f\colon D^n\to D^n$ do disco $n$-dimensional en si mesmo ten un punto fixo.

Aproxima-la función por unha polinómica e emprega-la versión diferenciable.

(do mergullo feble de Whitney). Se $M$ é unha variedade compacta de dimensión $n$, existe unha inmersión de $M$ en $\R^{2n}$ e un mergullo en $\R^{2n+1}$.

Como $M$ é compacta, podémola mergullar en $\R^k$ con $k$ suficientemente grande; chamémoslle a tal inmersión $i\colon M\hookrightarrow\R^k$. Supoñamos que $k>2n$ e vexamos que $M$ se pode ver como subvariedade inmersa de $\R^{k-1}$.

Definimos $g\colon TM\to\R^{k}$, $v_p\mapsto g(v_p)=i_{*p}(v_p)$. Polo Teorema de Morse-Sard, $g(TM)$ ten medida nula. Logo $g$ non é sobrexectiva. Sexa $u\in\R^k\setminus g(M)$, $u\neq 0$, $\lVert u\rVert =1$, que existe por linearidade de $i_{*p}$. Sexa $H_u=\{v\in\R^k:\langle u,v\rangle=0\}\cong\R^{k-1}$. Tomámo-la proxección ortogonal $\pi_u\colon\R^k\to H_u$, $x\mapsto\pi_u(x)=x-\langle x,u\rangle u$. Suposto que $\pi_u\circ i$ non fose inmersión, habería $p\in M$ e $v\in T_p M$, $v\neq 0$, de xeito que $0=(\pi_u\circ i)_{*p}(v)=i_{*p}v-\langle i_{*p}v,u\rangle u$. Como $i_*$ é inxectiva, $\langle i_{*p}v,u\rangle\neq 0$; pero entón $g\Bigl(\frac{v}{\langle i_{*p}v,u\rangle}\Bigr)=\frac{i_{*p}v}{\langle i_{*p}v,u\rangle}=u$, contradicción.

A segunda afirmación déixase como exercicio.

Para resolvelo, supoñamos, como anteriormente, que $M$ está contida en $\R^k$, $k> 2n+1$. Consideramos $h\colon M\times M\times\R\to\R^k$, $(p,q,t)\mapsto t(p-q)$, e a función $g\colon TM \to\R^k$ definida anteriormente.

Polo Teorema de Sard $h(M\times M\times \R)$ e $g(TM)$ teñen medida nula en $\R^k$. Logo existe $u\in\R^k\setminus(h(M\times M\times \R)\cup g(TM))$ distinto de cero. Pola linearidade de $h$ con respecto da terceira variable, podemos supoñer que $u$ é un vector unitario.

Tomamos $H_u$ e $\pi_u\colon\R^k\to H_u$ definidos como anteriomente, e vexamos que $\pi_{u\vert H_u}\colon M\to H_u$ é un mergullo, o que remataría a demostración.

A diferenciabilidade é evidente. Vexámo-la inxectividade. Sexan $p,q\in M$ tales que $\pi_u(p)=\pi_u(q)$. Logo $p-q=\langle p-q,u\rangle u$. Se $p\neq q$ teriamos $h(p,q,1/\langle p-q,u\rangle)=u$, o que contradiría a elección de $u$. Por tanto, $\pi_u$ é inxectiva. O feito de que $\pi_u$ é inmersión é exactamente o mesmo razoamento ca no apartado anterior. Logo, $\pi_{u\vert M}\colon M\to H_u$ é unha inmersión inxectiva. Como $M$ é unha variedade compacta, $\pi_{u\vert M}$ é un mergullo, como queriamos probar.

(de aproximación de funcións de Whitney) Sexa $f\colon M\to \R^k$ unha aplicación continua, diferenciable nun pechado $A$ de $M$. Sexa $\delta\colon M\to\R$ unha función continua e positiva. Entón existe unha función diferenciable $g\colon M\to\R^k$ tal que $g_{\vert A}=f_{\vert A}$ e $\lVert f(p)-g(p)\rVert<\delta(p)$ para todo $p\in M$.

O feito de que $f$ sexa diferenciable en $A$ significa que existe un aberto $U$ de $M$ tal que $A\subset U$ e $f$ é diferenciable en $U$.

Vexamos que existe unha función diferenciable $f_0\colon M\to\R^k$ tal que $f_{\vert A}=f_{0\vert A}$. Para iso tomamos un aberto $V$ tal que $A\subset V\subset\overline{V}\subset U$ (o cal é posible pois as variedades son espacios topolóxicos normais), e unha partición da unidade $\{\psi_0,\psi_1\}$ subordinada a $\{V,M\setminus A\}$. Definimos $f_0\colon M\to\R^k$ como \[ f_0(p)= \begin{cases} \psi_0(p)f(p) & p\in U,\\ \mathbf{0} & p\in M\setminus A. \end{cases} \] Como $\mathop{\rm sop}\psi_1\subset M\setminus A$ e $\psi_0+\psi_1=1$ temos que $\psi_{0\vert A}=1$. Por tanto, $f_{\vert A}=f_{0\vert A}$. Ademais, $f_0$ é diferenciable pois $\mathop{\rm sop}\psi_0$ é un conxunto pechado contido en $V$ e así $\psi_{0\vert M\setminus\overline{V}}=0$.

Sexa $U_0=\{p\in M:\lVert f(p)-f_0(p)\rVert <\delta(p)\}$, que é un aberto contendo a $A$.

Para cada $p\in M\setminus A$ definimos \[ U_p=\Bigl\{q\in M\setminus A:\delta(q)>\frac{\delta(p)}{2}, \lVert f(q)-f(p)\rVert<\frac{\delta(p)}{2}\Bigr\}. \] Obviamente, $U_p$ é aberto e $p\in U_p\subset M\setminus A$.

Como $M\setminus A$ é segundo numerable, podemos extraer un subrecubrimento numerable $\{U_{p_i}\}_{i\in\N}$ que recubre $M\setminus A$.

Sexa $\{\varphi_0\}\cup\{\varphi_i\}_{i\in\N}$ unha partición da unidade subordinada ó recubrimento $\{U_0\}\cup\{U_{p_i}\}_{i\in\N}$. Definimos $g\colon M\to\R^k$ mediante \[ g(p)=\varphi_0(p)f_0(p)+\sum_{i\in\N}\varphi_i(p)f(p_i). \] Esta aplicación é diferenciable pois, por se-los soportes localmente finitos, é unha suma finita de funcións diferenciables nunha veciñanza de cada punto.

Vexamos agora que cumple as condicións desexadas. É evidente que $g_{\vert A}=f_{0\vert A}=f_{\vert A}$ xa que $\mathop{\rm sop}\varphi_i\subset M\setminus A$, para $i\in\N$. Ademais, \[ \begin{aligned} \lVert f(p)-g(p)\rVert &{}=\Bigl\lVert\Bigl(\sum_{i=0}^\infty\varphi_i(p)\Bigr)f(p) -\varphi_0(p)f_0(p)-\sum_{i\in\N}\varphi_i(p)f(p_i)\Bigr\rVert\\ &{}=\Bigl\lVert\varphi_0(p)(f(p)-f_0(p)) +\sum_{i\in\N}\varphi_i(p)(f(p)-f(p_i))\Bigr\rVert\\ &{}\leq\varphi_0(p)\lVert f(p)-f_0(p)\rVert +\sum_{i\in\N}\varphi_i(p)\lVert f(p)-f(p_i)\rVert \end{aligned} \] Se $p\in U_0$ temos $\varphi_0(p)\leq 1$ e $\lVert f(p)-f_0(p)\rVert<\delta(p)$, mentres que se $p\notin U_0$ temos $\varphi_0(p)=0$. En calquera caso, \[ \varphi_0(p)\lVert f(p)-f_0(p)\rVert\leq\varphi_0(p)\delta(p). \] Analogamente, se $p\in U_{p_i}$ temos $\lVert f(p)-f(p_i)\rVert<\delta(p_i)/2<\delta(p)$, e se $p\notin U_{p_i}$ temos $\varphi_i(p)=0$. Por tanto, \[ \varphi_i(p)\lVert f(p)-f(p_i)\rVert<\varphi_i(p)\delta(p). \] Combinando estas desigualdades, \[ \begin{aligned} \lVert f(p)-g(p)\rVert &{}\leq\varphi_0(p)\delta(p) +\sum_{i\in\N}\varphi_i(p)\delta(p)=\delta(p), \end{aligned} \] como queriamos ver.

Transversalidade

Sexa $f\colon M\to N$ diferenciable, e $L\subset N$ unha subvariedade.

Dise que $f$ é transversa a $L$ en $p\in f^{-1}(L)$, $f\pitchfork_p L$, se $f_{*p}(T_p M)+T_{f(p)}L=T_{f(p)}N$.

Dise que $f$ é transversa a $L$, $f\pitchfork L$, se o é para todo $p\in f^{-1}(L)$.

Sexa $f\colon M\to N$ diferenciable, e $L$ subvariedade mergullada de $N$. Se $f$ é transversa a $L$, entón $f^{-1}(L)$ é subvariedade de $M$ e $\mathop{\rm codim} f^{-1}(L)=\mathop{\rm codim}L$.

Poñamos $m=\dim M$, $n=\dim N$, $\ell=\dim L$.

Sexa $p\in f^{-1}(L)$. Como $L$ é mergullada, podemos atopar unha carta $(V,\psi=(y^1,\dots,y^m))$ de $N$ en $f(p)$ tal que $L\cap V=\pi^{-1}(\mathbf{0})$, sendo $\pi=(y^{\ell+1},\dots,y^m)$. Vexamos que $\mathbf{0}\in\R^{m-\ell}$ é un valor regular de $\pi\circ f$. Sexan $z\in T_\mathbf{0}\R^{m-\ell}$ e $q\in(\pi\circ f)^{-1}(\mathbf{0})=f^{-1}(L\cap V)$. Como $\pi$ é unha submersión, existe $w\in T_{f(q)}N$ tal que $\pi_{*f(q)}(w)=z$. Como $f$ é transversa a $L$, existen $v\in T_q M$ e $x\in T_{f(q)}L$ tales que $w=f_{*q}(v)+x$. Entón, $(\pi\circ f)_{*q}(v)=\pi_{*f(q)}(w-x)=z$, xa que $\pi_{*f(q)}(x)=0$. En consecuencia, $\mathbf{0}$ efectivamente é un valor regular de $\pi\circ f$. Polo teorema do valor regular, $(\pi\circ f)^{-1}(\mathbf{0})=f^{-1}(V)\cap f^{-1}(L)$ é unha subvariedade mergullada de $M$ de dimensión $m-\ell$, o cal asegura a existencia dunha carta adaptada de $f^{-1}(L)$ en $p$. En consecuencia, $f^{-1}(L)$ é unha subvariedade regular de $M$ con dimensión $m-\ell$.

Dúas subvariedades $N_1$ e $N_2$ de $M$ son transversas, $N_1\pitchfork N_2$, se $i\colon N_1\hookrightarrow M$ é transversa a $N_2$.

Á esquerda dúas subvariedades transversas; á dereita dúas que non o son.

Se $N_1$ e $N_2$ son dúas subvariedades transversas de $M$ entón $N_1\cap N_2$ e unha subvariedade de $M$ e $\mathop{\rm codim}(N_1\cap N_2)=\mathop{\rm codim} N_1+\mathop{\rm codim}N_2$.

Séguese de aplicar á inclusión $i\colon N_1\to M$ o resultado para a imaxe recíproca dunha subvariedade mergullada transversa, e tendo en conta que por definición $N_2$ é transversa a $i$.

Os anteriores resultados admiten xeneralizacións para variedades con borde impoñendo máis condicións.

Sexa $M$ unha variedade con borde, $N$ unha variedade, $L$ unha subvariedade de $N$, e $f\colon M\to N$ diferenciable. Se $f$ e $\partial f$ son transversas a $L$, entón $f^{-1}(L)$ é unha subvariedade con borde de $M$ e $\partial(f^{-1}(L))=f^{-1}(L)\cap\partial M$.

Denotamos $I=[0,1]$.

Unha homotopía diferenciable é unha aplicación $f\colon M\times I\to N$ diferenciable que é unha homotopía. Dise que $f_0$ e $f_1$ son diferenciablemente homótopas, $f_0\sim f_1$.

A relación "ser diferenciablemente homótopas" é de equivalencia.

Dise que unha clase de funcións é estable se para calquera homotopía diferenciable $f\colon M\times I\to N$ tal que $f_0$ pertence a esa clase, existe $\epsilon>0$ tal que $f_t$ está nesa clase para todo $t\in[0,\epsilon)$.

(de estabilidade). Se $M$ é compacta, as seguintes clases son estables: inmersións, mergullos, submersións, difeomorfismos locais, aplicacións transversas, difeomorfismos.

Sexa $M$ unha variedade compacta de dimensión $m$. Vexamos que unha inmersión $f\colon M\to N$ é estable. Sexa $F\colon M\times I\to N$ unha homotopía diferenciable tal que $F_0=f$. Dado $p\in M$, o feito de que $f$ sexa unha inmersión significa que $f_{*p}$, como aplicación linear, ten un menor de orde $m$ non nulo. Dado que $F$ é diferenciable, existe unha veciñanza $U_p\times [0,\epsilon_p)$ de $(p,0)$ onde o correspondente menor segue sendo distinto de cero. Temos entón un recubrimento $U_p\times [0,\epsilon_p)$ de $M\times I$. Por compacidade, existe un subrecubrimento finito $\{U_{p_1}\times[0,\epsilon_{p_1}),\dots,U_{p_k}\times[0,\epsilon_{p_k})\}$ de $M\times\{0\}$. Sexa $\epsilon=\min\{\epsilon_{p_1},\dots,\epsilon_{p_k}\}>0$. Sexa $p\in M$ arbitrario e $t\in[0,\epsilon)$. Entón existe $i\in\{1,\dots,k\}$ tal que $p\in U_{p_i}$. Como $U_{p_i}\times[0,\epsilon)\subset U_{p_i}\times[0,\epsilon_{p_i})$ resulta que $f_{t*p}$ ten un menor non nulo de orde $m$, o que proba que $f_t$ é unha inmersión.

O enunciado anterior pode non ser certo cando a variedade non é compacta.

Tomemos $M=\R$, que non é compacta. Vexamos que o teorema de estabilidade non é certo cando non se satisfai a hipótese de compacidade.

Sexa $\varphi\in C^\infty(\R)$ tal que $\varphi_{\vert(-1,1)}=1$, $\varphi_{\R\setminus[-2,2]}=0$.

Definimos \[ f\colon\R\times I\to\R,\ (x,t)\mapsto x\varphi(tx). \] Entón $f_0$ é un difeomorfismo, pero $f_t$, $t\neq 0$, non o é. Afirmacións similares poden facerse para outras clases de funcións.

(de homotopía e transversalidade). Sexa $M$ unha variedade con borde, $L$ unha subvariedade dunha variedade $N$, e $f\colon M\to N$ diferenciable. Entón existe $g\colon M\to N$ diferenciable e homótopa a $f$ tal que $g$ e $\partial g$ son transversas a $L$.

Para a demostración do teorema anterior úsase o seguinte:

(da veciñanza tubular). Sexa $M\subset\R^n$ unha subvariedade compacta. Para $\epsilon>0$ definimos \[ \begin{aligned} N(M,\epsilon) &{}= \{(\mathbf{x},v)\in M\times\R^n:\lVert v\rVert<\epsilon,\ \langle v,w\rangle=0,\ \forall w\in T_\mathbf{x} M\},\\[1ex] M^\epsilon &{}=\{\mathbf{x}\in\R^n:d(\mathbf{x},M)<\epsilon\} \end{aligned} \] Entón existe $\epsilon>0$ tal que $h\colon N(M,\epsilon)\to M^\epsilon$, $(\mathbf{x},v)\mapsto h(\mathbf{x},v)=\mathbf{x}$, é un difeomorfismo.

Funcións de Morse

Sexa $f\colon M\to \R$ unha función diferenciable. Neste caso $p\in M$ é un punto crítico se $df_p=0$.

Se $p$ é un punto crítico de $f$, defínese o hessiano de $f$ en $p$ como unha aplicación bilinear simétrica $H(f)_p\colon T_p M\times T_p M\to\R$ mediante \[ H(f)_p(v,w)=\sum_{i,j}\frac{\partial^2 (f\circ\varphi^{-1})}{\partial r^i\partial r^j}(\varphi(p))v^i w^j, \] onde $v=\sum v^i\partial_i$, $w=\sum w^j\partial_j$ con respecto dunha carta $(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))$ en $p$.

Ver que $H(f)_p$ non depende da carta elexida.

Un punto crítico dise non dexenerado se $H(f)_p$ é non dexenerada, é dicir, $H(f)_p(v,w)=0$ para todo $w\in T_p M$ implica $v=0$.

Probar que os puntos críticos non dexenerados son illados.

Se $p$ é un punto crítico non dexenerado de $f\colon M\to \R$, defínese o índice de $p$, $\mathop{\rm ind}_p(f)$, como a dimensión do subespacio maximal de $T_p M$ onde $H(f)_p$ é definida negativa.

Dise que $f\colon M\to \R$ é unha función de Morse se tódolos seus puntos críticos son non dexenerados.

(de Morse). Sexa $f\colon M\to \R$ diferenciable, e $p$ un punto crítico de $f$ que é non dexenerado. Entón existe $(U,\varphi)$ carta de $M$ en $p$ tal que \[ (f\circ\varphi^{-1})(x_1,\dots,x_n)=f(p)-x_1^2-\dots-x_\alpha^2+x_{\alpha+1}^2+\dots+x_n^2, \] onde $\alpha=\mathop{\rm ind}_p(f)$.

Podemos supoñer por simplicidade $f(p)=0$. Sexa $(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))$ unha carta en $p$ tal que $\varphi(p)=\mathbf{0}$ e $\frac{\partial^2 (f\circ\varphi^{-1})}{\partial x^i \partial x^j}(p)=\epsilon_i\delta_{ij}$, onde $\epsilon_1=\dots=\epsilon_\alpha=-1$, e $\epsilon_{\alpha+1}=\dots=\epsilon_n=1$. Isto pode facerse pois os isomorfismos lineares son difeomorfismos de $\R^n$. Traballando na veciñanza coordenada dada por esta carta, podemos proba-lo lema simplemente para unha función $f\colon U\subset\R^n\to\R$ que ten en $\mathbf{0}\in U$ un punto crítico non dexenerado con matriz $\mathop{\rm diag}{(-1,\stackrel{(\alpha)}{\dots},-1,1,\dots,1)}$.

Probarémo-lo resultado por inducción no número de sumandos $k$ para o que a expresión \[ f(\mathbf{x})=\pm x_1^2\pm\dots\pm x_k^2+\sum_{i,j>k}x_i x_j h_{ij}(\mathbf{x}), \] con $h_{ij}=h_{ji}$, e $(h_{ij}(\mathbf{0}))$ non dexenerada, é certa.

En primeiro lugar facémo-lo caso $k=0$. Podemos escribir $f(\mathbf{x})=\sum_i x_i g_i(\mathbf{x})$, onde $g_i(\mathbf{0})=\frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{0})=0$. Un xeito de facer isto é por exemplo observar que \[ \begin{aligned} f(\mathbf{x}) &{}=\int_0^1\frac{\partial}{\partial t}f(t\mathbf{x})\,dt\\ &{}=\sum_i x_i\int_0^1\frac{\partial f}{\partial x_i}(t\mathbf{x})dt, \end{aligned} \] e toma-las integrais como as funcións $g_i$. Analogamente, procedendo de xeito similar para as funcións $g_i$, podemos poñer $g_i(\mathbf{x})=\sum_{i,j}x_j h_{ij}(\mathbf{x})$. Deste xeito, $f(\mathbf{x})=\sum_{i,j}x_i x_j h_{ij}(\mathbf{x})$. Por simetría podemos supoñer $h_{ij}=h_{ji}$ para calquera $i$, $j\in\{1,\dots,n\}$, xa que de non ser así, simplemente cambiamos $h_{ij}$ por $(h_{ij}+h_{ji})/2$. Ademais, un simple cálculo dá $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(\mathbf{0})=2h_{ij}(\mathbf{0})$, co que $(h_{ij})(\mathbf{0})={\mathop{\rm diag}(-1/2,\stackrel{(\alpha)}{\dots},-1/2,1/2,\dots,1/2)}$, que efectivamente é non dexenerada.

Supoñamos agora que nunhas determinadas coordenadas temos \[ f(\mathbf{x})=\pm x_1^2\pm\dots\pm x_k^2+\sum_{i,j>k}x_i x_j h_{ij}(\mathbf{x}). \] Como $(h_{ij})(\mathbf{0})$ é simétrica e non dexenerada, podemos supoñer (exercicio) $h_{k+1,k+1}(\mathbf{0})\neq 0$.

Definímo-las funcións \[ \begin{aligned} u_i(\mathbf{x}) &{}=x_i,\quad i\neq k+1\\ u_{k+1}(\mathbf{x}) &{}=\sqrt{\lvert h_{k+1,k+1}(\mathbf{x})\rvert} \Bigl(x_{k+1}+\sum_{i>k+1}x_i\frac{h_{i,k+1}(\mathbf{x})}{h_{k+1,k+1}(\mathbf{x})}\Bigr), \end{aligned} \] e sexa $\psi=(u_1,\dots,u_n)$.

Calculando a diferencial temos \[ D\psi(\mathbf{0})= \begin{pmatrix} \id & 0 & \mathbf{0}\\ * & \sqrt{\lvert h_{k+1,k+1}(\mathbf{0})\rvert} & *\\ \mathbf{0} & 0 & \id \end{pmatrix}. \] Como $h_{k+1,k+1}(\mathbf{0})\neq 0$, a matriz anterior é non singular, o que significa que $\psi$ define unhas novas coordenadas nunha veciñanza de $\mathbf{0}$. Ademais, como $h_{k+1,k+1}\neq 0$ nunha veciñanza de $\mathbf{0}$, restrinxíndonos a esa veciñanza se fose necesario, temos \[ \begin{aligned} f={} &{}\pm x_1^2\pm\dots\pm x_k^2+\sum_{i,j>k}x_i x_j h_{ij}\\ {}={}&{}\pm x_1^2\pm\dots\pm x_k^2\\ {}&{}+h_{k+1,k+1}\Bigl( x_{k+1}^2+2\sum_{i>k+1} x_{k+1}x_i\frac{h_{i,k+1}}{h_{k+1,k+1}} +\sum_{i,j>k+1}x_i x_j\frac{h_{ij}}{h_{k+1,k+1}}\Bigr)\\ {}={}&{}\pm x_1^2\pm\dots\pm x_k^2\\ {}&{}+h_{k+1,k+1}\biggl( \Bigl(x_{k+1}+\sum_{i>k+1}x_i\frac{h_{i,k+1}}{h_{k+1,k+1}}\Bigr)^2 +\sum_{i,j>k+1}x_i x_j\frac{h_{ij}}{h_{k+1,k+1}}\\ {}&{}\hphantom{{}+h_{k+1,k+1}\biggl(} -\sum_{i>k+1}x_i^2\frac{h_{i,k+1}^2}{h_{k+1,k+1}^2} -2\sum_{i>j>k+1}x_i x_j\frac{h_{i,k+1}h_{j,k+1}}{h_{k+1,k+1}^2}\biggr)\\ {}={}&{}\pm x_1^2\pm\dots\pm x_k^2\\ {}&{}\pm\Bigl(\sqrt{\lvert h_{k+1,k+1}\rvert} \Bigl(x_{k+1}+\sum_{i>k+1}x_i\frac{h_{i,k+1}}{h_{k+1,k+1}}\Bigr)\Bigr)^2\\ {}&{}+\sum_{i,j>k+1}x_i x_j \frac{h_{ij}h_{k+1,k+1}-h_{i,k+1}h_{j,k+1}}{h_{k+1,k+1}}\\ {}={}&{}\pm u_1^2\pm\dots\pm u_k^2\pm u_{k+1}^2 +\sum_{i,j>k+1}u_i u_j \hat{h}_{ij}, \end{aligned} \] para certas funcións $\hat{h}_{ij}$, $i$, $j\in\{k+1,\dots,n\}$. Finalmente, é un exercicio ver que a matriz que determina $(\hat{h}_{ij})$ é simétrica, e que $(\hat{h}_{ij}(\mathbf{0}))$ é non dexenerada.

Sexa $H\colon V\times V\to\R$ unha aplicación bilinear simétrica e non dexenerada. Probar que existe $v\in V$ tal que $H(v,v)\neq 0$.

Pola contra, supoñamos que para todo $v\in V$ temos $H(v,v)=0$. Logo, para $w\in V$ arbitrario tamén temos \[ \begin{aligned} 0 &{}=H(v+w,v+w)\\ &{}=H(v,v)+2H(v,w)+H(w,w)\\ &{}=2H(v,w), \end{aligned} \] o que implica $H=0$ en contra do carácter non dexenerado de $H$.

Sexa $H$ unha aplicación bilinear tal que a súa matriz $(h_{ij})$, escrita con respecto dunha base $\{e_1,\dots,e_n\}$, é simétrica e non dexenerada. Supoñamos $h_{11}\neq 0$. Probar que a matriz $A=(a_{ij})$ definida como $a_{ij}=h_{1i}h_{1j}-h_{11}h_{ij}$, $i,j\in\{2,\dots,n\}$, tamén é simétrica e non dexenerada.

Para resolvelo considerámo-la aplicación bilinear, que seguimos chamando $A$, definida como $A(v,w)=\sum_{i,j}a_{ij}v_i w_j$, onde $v=\sum_{i=2}^n v_i e_i$, $w=\sum_{i=2}^n w_i e_i$. A simetría de $A$ é evidente. Ademais, \[ \begin{aligned} A(v,w) &{}=\sum_{i,j}a_{ij}v_iw_j\\ &{}=\sum_{i,j}(h_{1i}h_{1j}-h_{11}h_{ij})v_i w_j\\ &{}=H(H(e_1,v)e_1-H(e_1,e_1)v,w). \end{aligned} \] Por tanto, se $A(v,w)=0$ para todo $w\in\Span\{e_2,\dots,e_n\}$, a expresión anterior, xunto con $H(H(e_1,v)e_1-H(e_1,e_1)v,e_1)=0$, implica $H(e_1,v)e_1-H(e_1,e_1)v=0$. Dado que $h_{11}=H(e_1,e_1)\neq 0$, non pode ser que $e_1$ e $v$ sexan linearmente independentes, o cal implica $v=0$.

Sexa $f\colon M\to\R$ unha función de Morse sen valores críticos en $[a,b]$. Entón $f^{-1}([a,b])$ é difeomorfo a $f^{-1}(a)\times[0,1]$.

Definímo-lo campo de vectores \[ X=\frac{\grad f}{\lVert \grad f\rVert^2}. \]

Como $f$ non ten puntos críticos, $\grad f$ non se anula. Se $\alpha$ é unha curva integral de $X$ tal que $\alpha(0)=p\in f^{-1}([a,b])$ entón \[ \begin{aligned} \frac{d}{dt}f(\alpha(t)) &{}=df_{\alpha(t)}(\alpha'(t))\\ &{}=\langle(\grad f)_{\alpha(t)},\alpha'(t)\rangle\\[1ex] &{}=\langle(\grad f)_{\alpha(t)},X_{\alpha(t)}\rangle=1. \end{aligned} \] Por tanto $f(\alpha(t))=f(p)+t$. Se $\phi_t$ denota o fluxo de $X$, entón a anterior igualdade pode expresarse como \[ f(\phi_t(p))=f(p)+t. \]

Defínese \[ \begin{array}{rcl} F\colon f^{-1}(a)\times[0,b-a]&\to &f^{-1}([a,b])\\ (p,t) & \mapsto & F(p,t)=\phi_t(p) \end{array} \] Esta aplicación é basicamente o difeomorfismo buscado. Para probar que é un difeomorfismo basta darse conta de que a aplicación inversa vén dada por $F^{-1}\colon f^{-1}([a,b])\to f^{-1}(a)\times [0,b-a]$, $q\mapsto F^{-1}(q)=(\phi_{a-f(q)}(q),f(q)-a)$. O feito de que esta aplicación diferenciable é a inversa de $F$ séguese inmediatamente das propiedades do fluxo e da ecuación anterior.

Dado que en dimensión dous só hai dous tipos de puntos críticos non dexenerados, máximos e mínimos por un lado e puntos de sela polo outro, é posible recupera-la clasificación de superficies compactas por medio dun proceso de cirurxía empregando só dous espacios topolóxicos: "discos" e "calzóns". O procedemento consiste en definir unha función de Morse na superficie, aplica-lo Lema de Morse nos puntos críticos, e a proposición anterior fóra deles.

Por exemplo, tomando a "función altura", unha esfera tería dous puntos críticos, un no polo norte e outro no polo sur. Por tanto, unha esfera correspóndese a pegar dous discos polo borde. No caso do toro, a función altura ten 4 puntos críticos, así que, topoloxicamente, o toro obtense pegando un disco cun calzón, este cun calzón invertido, e de novo un disco.

Sexa $M$ unha superficie compacta, e $f\colon M\to \mathbb{R}$ unha función de Morse con exactamente dous puntos críticos non dexenerados. Probar que $M$ é difeomorfa a unha esfera.

Grupo fundamental e revestimentos

Nesta sección repasaremos algúns conceptos relacionados co grupo fundamental e espacios de revestimento.

Sexa $X$ unha variedade topolóxica conexa e $x_0\in X$. En realidade os resultados desta sección poden establecerse nun marco máis xeral para espacios topolóxicos con certas propiedades de conexión e conexión local, pero evitaremos tal xeneralidade.

Un camiño é unha aplicación continua $\alpha\colon[0,1]\to X$. Un lazo de base $x_0$ é un camiño $\alpha\colon[0,1]\to X$ tal que $\alpha(0)=\alpha(1)=x_0$.

Se $\alpha\colon[0,1]\to X$ e $\beta\colon[0,1]\to X$ son dous camiños tales que $\alpha(1)=\beta(0)$, podemos concatenalos (por exemplo) do seguinte xeito: \[ (\alpha*\beta)(t)= \begin{cases} \alpha(2t), & t\in[0,1/2],\\[1ex] \beta(2t-1), & t\in[1/2,1]. \end{cases} \]

Dous camiños $\alpha$, $\beta\colon[0,1]\to X$ tales que $x_0=\alpha(0)=\beta(0)$ e $x_1=\alpha(1)=\beta(1)$ dinse homotópicos se se poden deformar continuamente un no outro, é dicir, se existe unha homotopía de camiños, que é unha aplicación continua $A\colon[0,1]\times[0,1]\to X$ tal que $A(0,t)=\alpha(t)$, $A(1,t)=\beta(t)$, $A(s,0)=x_0$, e $A(s,1)=x_1$ para todo $t,s\in[0,1]$. A relación "ser homotópicos" define unha relación de equivalencia no conxunto dos camiños que unen dous puntos fixados; en particular tamén no conxunto dos lazos baseados nun punto $x_0$. A clase de homotopía dun lazo $\alpha$ é o conxunto de tódolos lazos que son homótopos a $\alpha$; denotaremos esta clase por $[\alpha]$.

Un lazo dise homotopicamente nulo se é homótopo ó lazo constante. Se $X$ é conexa e tódolos lazos de $X$ son homotopicamente nulos, dise que $X$ é simplemente conexa.

O grupo fundamental da variedade topolóxica $X$ con respecto do punto $x_0$, denotado $\pi_1(X,x_0)$, é o conxunto das clases de homotopía de lazos baseados en $x_0$ coa operación inducida no cociente pola concatenación, $[\alpha][\beta]=[\alpha *\beta]$. Se $y_0\in X$ é outro punto na mesma compoñente conexa que $x_0$, é sinxelo ver que $\pi_1(X,x_0)$ é isomorfo (por conxugación) a $\pi_1(X,y_0)$. Como estamos supoñendo que $X$ é conexa por camiños, os grupos fundamentais non dependen, salvo isomorfismo, da elección de $x_0$; denotaremos simplemente $\pi_1(X)$ ó grupo fundamental de $X$, entendendo que hai unha elección subxacente do punto base. A variedade $X$ é simplemente conexa se e só se $\pi_1(X)$ é trivial.

(de grupos fundamentais).

$\pi_1(\R^n)=0$; en xeral, se $X$ é contráctil, $\pi_1(X)=0$.
$\pi_1(\mathsf{S}^1)\cong\pi_1(\R^2\setminus\{*\})\cong\Z$, $\pi_1(\mathsf{S}^n)=0$, $n\geq 2$.
$\pi_1(\R\mathsf{P}^n)=\Z_2$, $n\geq 2$.
$\pi_1(X\times Y)=\pi_1(X)\times\pi_1(Y)$.
$\pi_1(X)$ é ó sumo numerable para variedades topolóxicas.

Se $f\colon X\to Y$ é unha aplicación continua, entón induce un homomorfismo de grupos $f_\star\colon\pi_1(X)\to\pi_1(Y)$, $[\alpha]\mapsto f_\star[\alpha]=[f\circ\alpha]$. Se $f$ é un homeomorfismo entón $f_\star$ é un isomorfismo de grupos.

Dise que $f\colon X\to Y$ é unha equivalencia de homotopía se existe $g\colon Y\to X$ tal que $g\circ f$ é homótopa a $\id_X$ e $f\circ g$ é homótopa a $\id_Y$. En tal caso $X$ e $Y$ teñen grupos fundamentais isomorfos.

Sexan $X$ e $Y$ dúas variedades topolóxicas conexas. Unha aplicación continua e sobrexectiva $\kappa\colon X\to Y$ dise unha aplicación de revestimento se cada punto $y\in Y$ ten unha veciñanza $V$ que está uniformemente revestida por $\kappa$, é dicir, $\kappa^{-1}(V)=\sqcup_i U_i$ é unha unión disxunta de abertos $\{U_i\}_i$ de $X$ tales que $\kappa\vert_{U_i}\colon U_i\to V$ é un homeomorfismo. Nestas condicións, a $Y$ chámaselle a base do recubrimento, e a $X$ o espacio de revestimento de $Y$.

Propiedades básicas das aplicacións de revestimento:

A cardinalidade de $\kappa^{-1}(y)$ é a mesma para tódolos puntos $y\in Y$; esta constante é chamada a multiplicidade do revestimento.
Toda aplicación de revestimento é aberta, un homeomorfismo local, e unha aplicación cociente.
Unha aplicación de revestimento inxectiva é un homeomorfismo.

Homomorfismo de revestimentos

Sexan $\kappa_1\colon X_1\to Y$ e $\kappa_2\colon X_2\to Y$ dous revestimentos de $Y$. Un homomorfismo de revestimentos de $\kappa_1$ a $\kappa_2$ é unha aplicación continua $\phi\colon X_1\to X_2$ tal que $\kappa_2\circ\phi=\kappa_1$. Se ademais $\phi$ é un homeomorfismo, dise que $\phi$ é un isomorfismo de revestimentos. Cando $X_1=X_2=X$, $\kappa_1=\kappa_2$, e $\phi\colon X\to X$ é un homeomorfismo, dise que $\phi$ é un automorfismo de revestimentos (deck transformation).

A continuación preséntanse os resultados fundamentais sobre existencia de revestimentos.

Propiedades dos espacios de revestimento.

\[ \begin{array}{rcl} & & \hspace{-2ex}(X,x)\\ & {}^{\exists\widetilde{f}}{\nearrow} & \hspace{-2ex}\quad\downarrow{\scriptstyle \kappa}\\ (Z,z)\hspace{-3ex} & \hphantom{{}^{\exists\widetilde{f}}}\underset{f}{\longrightarrow} & \hspace{-1ex}(Y,\underset{\stackrel{\shortparallel}{f(z)}}{\kappa(x)}) \end{array} \]

(Levantamento único de aplicacións continuas) Sexa $\kappa\colon X\to Y$ unha aplicación de revestimento. Sexa $Z$ unha variedade topolóxica conexa e $f\colon Z\to Y$ unha aplicación continua. Sexan $x\in X$ e $z\in Z$ tales que $\kappa(x)=f(z)$. Entón existe un levantamento $\widetilde{f}\colon Z\to X$ de $f$ (é dicir, $\kappa\circ\tilde{f}=f$) tal que $\widetilde{f}(z)=x$ se e só se $f_\star(\pi_1(Z))\subset\kappa_\star(\pi_1(X))$. Nese caso, tal levantamento é único. \[ \begin{array}{rcl} & & \hspace{-2ex}(X,x)\\ & {}^{\exists\widetilde{f}}{\nearrow} & \hspace{-2ex}\quad\downarrow{\scriptstyle \kappa}\\ (Z,z)\hspace{-3ex} & \hphantom{{}^{\exists\widetilde{f}}}\underset{f}{\longrightarrow} & \hspace{-1ex}(Y,\underset{\stackrel{\shortparallel}{f(z)}}{\kappa(x)}) \end{array} \]
(Existencia de revestimento universal) Sexa $X$ unha variedade topolóxica conexa. Entón $X$ ten un revestimento simplemente conexo.
(Unicidade de revestimento universal) Se $\kappa\colon X\to Y$ é un revestimento e $Y$ é simplemente conexo, entón $\kappa$ é un homeomorfismo.
(Clasificación de revestimentos) Hai unha correspondencia bixectiva entre as clases de isomorfía de revestimentos de $X$ e as clases de conxugación de subgrupos de $\pi_1(X)$.
(Automorfismos de revestimento) Sexa $\kappa\colon (X,x)\to (Y,y)$ un revestimento, con $X$ simplemente conexo. Denotemos por $K$ ó grupo dos automorfismos de revestimento de $X$. Entón $K$ actúa simple transitivamente en $\pi^{-1}(y)$, e a aplicación $K\to\pi_1(Y,y)$, $f\mapsto [\kappa(\gamma_f)]$, sendo $\gamma_f$ un camiño unindo $x$ con $f(x)$, é un isomorfismo de grupos.

Exemplos de revestimentos:

$\varepsilon\colon\R\to\mathsf{S}^1$, $x\mapsto e^{2\pi i x}$.
$\varepsilon^n\colon\R^n\to\mathbb{T}^n$, $(x_1,\dots,x_n)\mapsto (e^{2\pi i x_1},\dots,e^{2\pi i x_n})$, onde $\mathbb{T}^n=\mathsf{S}^1\times\stackrel{(n)}{\cdots}\times\mathsf{S}^1$.
$p_n\colon\mathsf{S}^1\to\mathsf{S}^1$, $z\mapsto z^n$, é unha aplicación de revestimento ($n$ a $1$).
$\kappa\colon\mathsf{S}^n\to\R\mathsf{P}^n$, $x\mapsto[x]$, é unha aplicación de revestimento de dúas follas; logo, $\mathsf{S}^n$ é o revestimento universal de $\R\mathsf{P}^n$, $n\geq 2$, e $\pi_1(\R\mathsf{P}^n)=\Z_2$.
Hai un revestimento doble da garrafa de Klein polo toro.

A partir de agora $M$ é unha variedade diferenciable conexa.

Sexa $\hat{M}=\{(p,\mathcal{O}_p):p\in M,\ \mathcal{O}_p\text{ orientación de }T_p M\}$. Pódese dotar a $\hat{M}$ dunha estructura de variedade diferenciable, que resulta ser orientable. (De feito, ten estructura de fibrado con respecto da proxección canónica $\kappa\colon\hat{M}\to M$, $(p,\mathcal{O}_p)\mapsto p$.) Ademais, $\kappa$ é un revestimento dous a un, e:

Se $M$ é orientable, entón $\hat{M}$ ten dúas compoñentes conexas difeomorfas a $M$.
Se $M$ non é orientable, entón $\hat{M}$ é conexa.

En particular, se $M$ non é orientable, entón $\pi_1(M)\neq 0$.

Se $M$ e $N$ son variedades diferenciables conexas, con $M$ compacta, e $\kappa\colon M\to N$ é un difeomorfismo local, entón $\kappa$ é unha aplicación de revestimento.

Sexan $M$ e $N$ dúas variedades diferenciables conexas. Unha aplicación diferenciable e sobrexectiva $\kappa\colon M\to N$ dise unha aplicación de revestimento diferenciable se cada punto $q\in N$ ten unha veciñanza $V$ que está uniformemente revestida por $\kappa$, é dicir, $\kappa^{-1}(V)=\sqcup_i U_i$ é unha unión disxunta de abertos $\{U_i\}_i$ de $M$ tales que $\kappa\vert_{U_i}\colon U_i\to V$ é un difeomorfismo.

Propiedades básicas das aplicacións de revestimento diferenciables:

Toda aplicación de revestimento diferenciable é aberta, difeomorfismo local, e aplicación cociente.
Unha aplicación de revestimento diferenciable inxectiva é un difeomorfismo.
Sexa $\kappa\colon X\to Y$ unha aplicación de revestimento. Entón $\kappa$ é unha aplicación de revestimento diferenciable se e só se $\kappa$ é un difeomorfismo local.

Nótese que a última propiedade é non trivial, xa que un revestimento que é diferenciable non ten por que ser un revestimento diferenciable (podería ser que as veciñanzas dos puntos da base están uniformemente revestidas con homeomorfismos que non son difeomorfismos).

Sexa $X$ un espacio topolóxico conexo e $N$ unha variedade. Sexa $\kappa\colon X\to N$ un revestimento topolóxico. Entón $X$ é localmente euclidiano, segundo numerable, Hausdorff, e existe unha única estructura diferenciable en $X$ para a cal $\kappa$ é unha aplicación de revestimento diferenciable.

As propiedades dos espacios revestimento vistas anteriormente danse na categoría diferenciable.