Problemas de Grupos de Lie de transformacións

Accións de grupos e espacios homoxéneos.

  1. Sexa $\mathsf{Sym}(n)$ o subespacio das matrices simétricas de orde $n$. Dadas $X,Y\in\mathsf{Sym}(n)$ definimos $\langle X,Y\rangle=\tr X^T Y$. Probar que esta fórmula define un producto interior en $\mathsf{Sym}(n)$. Consideremos agora a acción de $\mathsf{O}(n)$ en $\mathsf{Sym}(n)$ dada por $A\cdot X=AXA^{-1}$. Probar que esta é unha acción que preserva o producto interior de $\mathsf{Sym}(n)$.

    Sexa $\Delta$ o subsespacio das matrices diagonais. Probar que $\Delta$ interseca tódalas órbitas da acción de $\mathsf{O}(n)$ sobre $\mathsf{Sym}(n)$. Probar que dita intersección é ortogonal con respecto do producto interior anterior, é dicir, que $T_D\Delta$ é ortogonal a $T_D(\mathsf{O}(n)\cdot D)$ para toda $D\in\Delta$.

    Sexa $\mathsf{Sym}^0(n)=\{X\in\mathsf{Sym}(n):\tr X=0\}$ e $\mathsf{S}(\mathsf{Sym}^0(n))=\{X\in\mathsf{Sym}^0(n):\langle X,X\rangle=1\}$. Probar que $\mathsf{S}(\mathsf{Sym}^0(n))$ é invariante pola acción e concluír que isto induce unha nova acción $\mathsf{SO}(n)\times\mathsf{S}(\mathsf{Sym}^0(n))\to\mathsf{S}(\mathsf{Sym}^0(n))$.

    Comprobar que para $n=2$, a acción $\mathsf{SO}(2)\times\mathsf{S}(\mathsf{Sym}^0(2))\to\mathsf{S}(\mathsf{Sym}^0(2))$ é transitiva e a isotropía de calquera punto é isomorfa a $\mathbb{Z}_2$.

    Comprobar que para $n=3$, a acción $\mathsf{SO}(3)\times\mathsf{S}(\mathsf{Sym}^0(3))\to\mathsf{S}(\mathsf{Sym}^0(3))$ ten como posibles isotropías grupos isomorfos a $\mathsf{O}(2)$ ou a $\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2$. [Suxerencia: razoar en función do número de autovalores distintos da matriz, e ver que os autovectores asociados a autovalores de multiplicadade un quedan invariantes pola isotropía.]

  2. Sexa $\C H^1=\{z\in\C:\Im z>0\}$. Definimos \[ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \cdot z =\frac{az+b}{cz+d}. \] Comprobar que a fórmula anterior define unha acción transitiva de $\mathsf{SL}(2,\R)$ sobre $\C H^1$. Ver que a acción non é efectiva. Escribir $\C H^1$ como cociente de grupos de Lie.

    (Pode dotarse a $\C H^1$ dunha métrica de Riemann que fai que sexa isométrico ó plano hiperbólico real $\R H^2$ e para o que $\mathsf{SL}(2,\R)$ é o seu grupo de isometrías.)