Instruccións. Face-los exercicios marcados con (*), e outro de cada sección.
Valorarase a dificultade dos exercicios escollidos.
Grupos e álxebras de Lie.
Sexa $G$ un grupo de Lie $p\colon G\times G\to G$, $(g,h)\mapsto gh$,
e $i\colon G\to G$, $g\mapsto g^{-1}$.
Emprega-lo Teorema da función implícita para probar que a diferenciabilidade de $p$ implica a diferenciabilidade de $i$.
Probar que a aplicación $f\colon G\times T_e G\to TG$, $(g,x)\mapsto L_{g*}x$, é un isomorfismo de espacios fibrados, é dicir,
é un difeomorfismo tal que
$\pi\circ f=pr_1$ (onde $pr_1\colon G\times T_e G\to G$ é a proxección no primeiro factor), e a restricción $\{g\}\times T_e G\to T_g G$ é un isomorfismo linear.
Probar que $\Ad(g)$ é un automorfismo de álxebras de Lie para todo $g\in G$.
Denotemos por $\mathop{\rm Aut}(\g{g})$ o conxunto de automorfismos de $\g{g}$.
Probar que $\mathop{\rm Aut}(\g{g})$ é un subgrupo de Lie de $\mathsf{GL}(\g{g})$.
Dicimos que unha aplicación linear $D\colon\g{g}\to\g{g}$ é unha derivación de álxebras de Lie se $D[X,Y]=[DX,Y]+[X,DY]$ para todo $X,Y\in\g{g}$.
Probar que $\ad(X)$ é unha derivación para todo $X\in\g{g}$.
Sexa $\mathop{\rm Der}(\g{g})$ o conxunto das derivacións da álxebra de Lie $\g{g}$.
Probar que $\mathop{\rm Der}(\g{g})$ é a álxebra de Lie de $\mathop{\rm Aut}(\g{g})$. [Suxerencia: buscar dúas curvas que satisfagan o mesmo problema de valor inicial.]
Probar que a componente conexa do neutro dun grupo de Lie é un subgrupo normal.
Probar que a clausura dun subgrupo dun grupo de Lie é un subgrupo de Lie.
Grupos matriciais.
Considerémo-la aplicación
\[
\mathcal{M}_{n\times n}(\C)\to \mathcal{M}_{2n\times 2n}(\R),\
A+\mathbf{i}B\mapsto
\begin{pmatrix}
A & -B\\
B & A
\end{pmatrix},
\]
onde $A,B\in\mathcal{M}_{n\times n}(\R)$.
Probar que esta aplicación induce un homomorfismo de grupos de Lie inxectivo $\mathsf{GL}(n,\C)\to\mathsf{GL}(2n,\R)$.
Considerémo-la aplicación
\[
\mathcal{M}_{n\times n}(\H)\to \mathcal{M}_{2n\times 2n}(\C),\
A+\mathbf{i}B\mapsto
\begin{pmatrix}
A & -\overline{B}\\
B & \overline{A}
\end{pmatrix},
\]
onde $A,B\in\mathcal{M}_{n\times n}(\C)$.
Probar que esta aplicación induce un homomorfismo de grupos de Lie inxectivo $\mathsf{GL}(n,\H)\to\mathsf{GL}(2n,\C)$.
Probar que $\mathsf{Sp}(1)$ e $\mathsf{SU}(2)$ son isomorfos.
Deducir que entón $\mathsf{S}^3$ ten estructura de grupo de Lie.
¿Pode ter $\mathsf{S}^2$ estructura de grupo de Lie?
Ver que está ben definida e que é un homomorfismo de grupos de Lie.
Dado $u\in\Im\H$ con $\lvert u\rvert=1$ e $\theta\in[-\pi,\pi)$, probar que se
$q=e^{\frac{\theta}{2}u}=\cos\bigl(\frac{\theta}{2}\bigr)+u\sin\bigl(\frac{\theta}{2}\bigr)$ entón $\varphi(q)$ é a rotación en $\Im\H$ de eixo $u$ e ángulo $\theta$.
Probar que $\mathsf{SO}(3)$ é homeomorfo a $\R\mathsf{P}^3$.
Probar que $\mathsf{U}(n)$ e $\mathsf{S}^1\times\mathsf{SU}(n)$ son difeomorfos, pero non isomorfos como grupos de Lie ($n\geq 2$).
Coa identificación $\C^n\oplus\C^n\cong\H^n$, probar
\[
\mathsf{Sp}(n)=\mathsf{U}(2n)\cap\mathsf{Sp}(n,\C)=\mathsf{SU}(2n)\cap\mathsf{Sp}(n,\C).
\]
O grupo de Heisenberg é o grupo matricial definido mediante
\[
\mathsf{Nil}_3=\left\{
\begin{pmatrix}
1 & a & c\\
0 & 1 & b\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
:a,b,c\in\R\right\},
\]
coa operación producto de matrices.
Ver que este é un grupo de Lie e que a súa álxebra de Lie vén dada por
\[
\g{nil}_3=\left\{
\begin{pmatrix}
0 & x & z\\
0 & 0 & y\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
:x,y,z\in\R\right\}.
\]
Proba-las seguintes afirmacións:
$\g{su}(2)$ é isomorfo a $\g{sp}(1)$.
$\g{so}(3)$ é isomorfo a $\g{su}(2)$.
$\g{so}(3)$ non é isomorfo a $\g{nil}_3$.
Probar que a aplicación exponencial establece unha correspondencia bixectiva entre as matrices hermitianas e as matrices hermitianas definidas positivas.
Revestimentos de grupos de Lie.
Probar que $\Exp(\g{sl}(2,\R))$ non é un subgrupo de Lie de $\mathsf{SL}(2,\R)$.
Probar que o revestimento universal de $\mathsf{SO}(4)$ é $\mathsf{Sp}(1)\times\mathsf{Sp}(1)$. [Suxerencia: tomar $\kappa\colon\mathsf{Sp}(1)\times\mathsf{Sp}(1)\to\mathsf{SO}(4)$, $\kappa(p,q)(v)=pvq^{-1}$.]
Sexa $\g{g}$ unha álxebra de Lie, e $\g{a}$ e $\g{b}$ dous ideais.
Probar que $\g{a}+\g{b}$, $\g{a}\cap\g{b}$, e $[\g{a},\g{b}]$ tamén son ideais.
Probar que $(\g{a}+\g{b})/\g{a}\cong\g{b}/(\g{a}\cap\g{b})$.
Defínese a álxebra de Lie derivada $\g{g}'=[\g{g},\g{g}]$ como a subálxebra de Lie xerada por $[X,Y]$ con $X,Y\in\g{g}$.
Probar que $\g{g}'$ é un ideal de $\g{g}$ e que $\g{g}/\g{g}'$ é un álxebra de Lie abeliana.
Probar que se $\g{h}$ é un ideal tal que $\g{g}/\g{h}$ é abeliana, entón $\g{g}'\subset\g{h}$.
Dicimos que unha álxebra de Lie $\g{g}$ é simple se non é abeliana e non contén ningún ideal distinto de $\{0\}$ e $\g{g}$.
Probar que $[\g{g},\g{g}]=\g{g}$ e $\g{z}(\g{g})=0$.
¿É certo que un grupo de Lie é abeliano se e só se a súa álxebra de Lie é abeliana? Razoa-la resposta.
Sexa $\g{g}$ un álxebra de Lie tal que $\g{z}(g)=0$.
Probar que $\g{g}$ é isomorfa a unha subálxebra de Lie de $\g{gl}(n,\R)$ para algún $n$.
(*) (Consecuencias do Teorema de Ado).
Determinar tódolos grupos de Lie conexos (salvo isomorfismo) con álxebra de Lie isomorfa a $\g{so}(3)$.
Dar infinitos exemplos non isomorfos de grupos de Lie con álxebra de Lie $\g{so}(3)$.
Dar un exemplo de dous grupos de Lie $G$ e $H$ con álxebras de Lie $\g{g}$ e $\g{h}$ respectivamente, e dun homomorfismo de álxebras de Lie $\psi\colon\g{g}\to\g{h}$, de xeito que non exista un homomorfismo de grupos de Lie $\varphi\colon G\to H$ con $\varphi_*=\psi$.