Problemas de Topoloxía Diferencial

Instruccións. Face-los exercicios marcados con (*), e outros 3 máis. Valorarase a dificultade dos exercicios escollidos.

  1. En $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{\mathbf{0}\}$ defínese a relación de equivalencia $\mathbf{x}\sim \mathbf{y}\Leftrightarrow\exists\lambda\in\mathbb{R}\mid \mathbf{y}=\lambda \mathbf{x}$. O espazo proxectivo real $n$-dimensional defínese como $\mathbb{R} P^n=\frac{\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}}{\sim}$. Probar que $\mathbb{R} P^n$ é unha variedade diferenciable. Suxerencia: tomar cartas $(U_i,\varphi_i)$, onde $U_i=\{[\mathbf{x}]\in\mathbb{R} P^{n}:x_i\neq 0\}$, e \[ \varphi_i([\mathbf{x}])= \bigl(\frac{x_1}{x_i},\dots,\frac{x_{i-1}}{x_i},\frac{x_{i+1}}{x_i},\dots,\frac{x_{n}}{x_i}\bigr). \]
  2. En $\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{\mathbf{0}\}$ defínese a relación de equivalencia $\mathbf{x}\sim \mathbf{y}\Leftrightarrow\exists\lambda\in\mathbb{C}\mid \mathbf{y}=\lambda \mathbf{x}$. O espazo proxectivo complexo $n$-dimensional defínese como $\mathbb{C} P^n=\frac{\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{0\}}{\sim}$. Probar que $\mathbb{C} P^n$ é unha variedade diferenciable.
  3. Sexa $f\colon M\to N$ unha submersión sobrexectiva. Sexa $L$ outra variedade diferenciable, e $g\colon N\to L$ unha aplicación. Entón $g$ é diferenciable se e só se o é $g\circ f$.
  4. (*) (Lema de factorización da imaxe para subvariedades integrais) Sexa $f\colon M\to N$ diferenciable, $L$ unha subvariedade integral dunha distribución involutiva $\mathcal{D}$ en $N$, e que $f(M)\subset L$. Entón, a aplicación $f_0\colon M\to L$ tal que $i_L\circ f_0=f$ é diferenciable.
  5. Sexan $X_1,\dots,X_n$ campos de vectores nunha variedade $M$ de dimensión $n$ tales que $[X_i,X_j]=0$ para todo $i,j\in\{1,\dots,n\}$, e que son linearmente independentes en $p\in M$. Probar que existe unha carta $(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))$ en $p$ tal que $X_{i}\vert_U=\frac{\partial}{\partial x^i}$, para todo $i\in\{1,\dots,n\}$.
  6. Sexa $U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x,y,z>0\}$. Considerémo-la distribución en $U$ definida como $\mathcal{D}=\textup{span}\{X,\,Y\}$, onde $X=y\,{\partial z}-z\,{\partial y}$, $Y=z\,{\partial x}-x\,{\partial z}$. Probar que $\mathcal{D}$ é involutiva e calcula-las súas variedades integrais maximais.
  7. Sexa $f\colon M\to N$ unha aplicación diferenciable. Dicimos que $X\in\Gamma(TM)$ e $Y\in\Gamma(TN)$ están $f$-relacionados, $X\sim_f Y$, se $f_{*p}X_p=Y_{f(p)}$ para todo $p\in M$. Probar que se $X_1\sim_f Y_1$ e $X_2\sim_f Y_2$ entón $[X_1,X_2]\sim_f[Y_1,Y_2]$.
  8. (*) (Teorema feble de mergullo de Whitney) Sexa $M$ unha subvariedade compacta de dimensión $n$ contida en $\mathbb{R}^k$, con $k>2n+1$. Ver que existe $u\in\mathbb{R}^k$ unitario tal que $\pi_u(M)$ é un embebemento en $H_u=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^k:\langle \mathbf{x},u\rangle=0\}$, sendo $\pi_u$ a proxección ortogonal en $H_u$. Suxerencia: considerar $g\colon M\times M\times\mathbb{R}\to \mathbb{R}^k$, $(p,q,t)\mapsto t(p-q)$.
  9. (*) Sexa $f\colon M\to N$ diferenciable e $L\subset N$ unha subvariedade mergullada transversa a $f$. Probar que $f^{-1}(L)$ é subvariedade de $M$ e que $\mathop{\rm codim}f^{-1}(L)=\mathop{\rm codim}L$.
  10. Probar que a relación "ser diferenciablemente homótopas" é unha relación de equivalencia.
  11. Sexa $M$ unha variedade compacta e $N$ unha variedade. Probar que as inmersións $f\colon M\to N$ son aplicacións estables.
  12. Sexa $f\colon M\to \mathbb{R}$ diferenciable, e $p\in M$ un punto crítico de $f$. Defínese $H(f)_p\colon T_p M\times T_p M\to \mathbb{R}$ como \[ H(f)_p(v,w)=\sum_{i,j=1}^n v^i w^j\frac{\partial^2 (f\circ\varphi^{-1})}{\partial x^i \partial x^j}(\varphi(p)), \] sendo $(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))$ carta de $M$ en $p$, e $v=\sum_{i=1}^n v^i\Bigl(\frac{\partial}{\partial x^i}\Bigr)_p$, $w=\sum_{i=1}^n w^i\Bigl(\frac{\partial}{\partial x^i}\Bigr)_p$. Probar que a definición de $H(f)_p$ non depende da carta elexida. ¿É esta afirmación certa se $p$ non é un punto crítico?
  13. Sexa $H$ unha forma bilinear simétrica non dexenerada en $\mathbb{R}^n$ e $\{e_1,\dots,e_n\}$ unha base. Con respecto desta base escribimos matricialmente $H=(h_{ij})$. Supoñamos $h_{11}\neq 0$. Probar que a matriz $A=(a_{ij})$ definida como $a_{ij}=h_{1i}h_{1j}-h_{11}h_{ij}$, $i,j\in\{2,\dots,n\}$, tamén é simétrica e non dexenerada.
  14. Sexa $M$ unha superficie compacta, e $f\colon M\to \mathbb{R}$ unha función de Morse con exactamente dous puntos críticos non dexenerados. Probar que $M$ é homeomorfa a unha esfera.