Derivada covariante e xeodésicas
Derivada covariante
Sexa $S$ unha superficie regular e $\alpha\colon I\to S$ unha curva diferenciable. Sexa $V\colon I\to\R^3$ un campo de vectores tanxente a $S$ ó longo de $\alpha$. Recordemos que isto quere dicir que $V(t)\in T_{\alpha(t)}S$ para todo $t\in S$.
Se $\alpha\colon I\to S$ é unha curva parametrizada por arco nunha superficie orientada, vimos cando falamos da estructura complexa que $(\alpha', J\alpha')$ constitúe unha base ortonormal positivamente orientada ó longo da curva $\alpha$.
Non obstante, nótese que $\alpha''$ non é en xeral tanxente a $S$ ó longo de $\alpha$.
Defínese a derivada covariante de $V$ como o campo de vectores tanxente ó longo de $\alpha$, $\frac{D}{dt}V$ dado por \[ \frac{D}{dt}V(t)\equiv\frac{D V}{dt}(t)=V'(t)^\top =\left(\frac{dV}{dt}\right)^\top, \] onde $(\,\cdot\,)^\top$ denota a proxección no tanxente á superficie.
Equivalentemente, \[ \frac{DV}{dt}=V'-\langle V',\mathbf{N}\circ\alpha\rangle(\mathbf{N}\circ\alpha). \]
Pódese por tanto pensar en $\frac{D}{dt}$ como un operador que leva campos de vectores tanxentes ó longo de $\alpha$ en campos de vectores tanxentes ó longo de $\alpha$.
Sexa $S$ unha superficie regular e $\alpha\colon I\to S$ unha curva. Sexan $V$ e $W$ campos de vectores tanxentes a $S$ ó longo de $\alpha$. Entón, a derivada covariante satisfai:
- $\R$-linearidade: \[ \frac{D}{dt}(\lambda V+\mu W)=\lambda\frac{D}{dt}V+\mu\frac{D}{dt}W, \] para todo $\lambda,\mu\in\R$.
- Regra de Lebnitz: \[ \frac{D}{dt}(fV)=\frac{df}{dt}V+f\frac{D}{dt}V, \] para toda función diferenciable $f\colon I\to\R$.
- Compatibilidade coa primeira forma fundamental: \[ \frac{d}{dt}\langle V,W\rangle =\langle\frac{D}{dt}V,W\rangle+\langle V,\frac{D}{dt}W\rangle. \]
Recordémo-la definición dos símbolos de Christoffel \[ \mathbf{x}_{ij} =\sum_k \Gamma_{ij}^k\mathbf{x}_k + L_{ij}(\mathbf{N}\circ\mathbf{x}). \] Poñamos $\alpha(t)=\mathbf{x}(u(t))$, con $u(t)=(u^1(t), u^2(t))$ e $V(t)=\sum_i V^i(t)\,\mathbf{x}_i(u(t))$. Entón \[ \frac{DV}{dt}= \sum_k\left(\frac{dV^k}{dt} +\sum_{i,j}V^i\frac{du^j}{dt}(\Gamma_{ij}^k\circ u)\right) (\mathbf{x}_k\circ u). \]
A derivada covariante dunha superficie $S$ depende só da primeira forma fundamental de $S$.
Isto é consecuencia da fórmula anterior e do feito de que os símbolos de Christoffel só dependen da primeira forma fundamental.
Sexa $f\colon S_1\to S_2$ unha isometría entre superficies, $\alpha\colon I\to S_1$ unha curva, e $V\colon I\to\R^3$ un campo de vectores ó longo de $\alpha$. Denotemos por $\frac{{}^1D}{dt}$ á derivada covariante en $S_1$ ó longo de $\alpha$, e por $\frac{{}^2D}{dt}$ á derivada covariante de $S_2$ ó longo de $f\circ\alpha$. Entón, \[ df_{\alpha(t)}\Bigl(\frac{{}^1D}{dt}V\Bigr)(t) =\frac{{}^2D}{dt}\bigl(df(V)\bigr)(t), \] sendo $df(V)$ o campo de vectores ó longo de $f\circ\alpha$ definido mediante $df(V)(t)=df_{\alpha(t)}(V(t))$.
A derivada covariante é unha cuestión local, así que chega con ve-lo resultado nunha veciñanza coordenada. Sexa $\mathbf{x}\colon U\subset\R^2\to S_1$ unha parametrización arredor de $\alpha(t)$. Como $f$ é un difeomorfismo, $f\circ\mathbf{x}$ é unha parametrización de $S_2$ en $f(\alpha(t))$.
Escribimos $\alpha(t)=\mathbf{x}(u(t))$, $u(t)=(u_1(t),u_2(t))$, e $V(t)=\sum_i V^i(t)\mathbf{x}_i(u(t))$. Entón, $(f\circ\alpha)(t)=(f\circ\mathbf{x})(u(t))$, e pola regra da cadea, \[ \begin{aligned} \frac{d(f\circ\alpha)}{dt} &{}=\sum_i \frac{du^i}{dt}(f\circ\mathbf{x})_i,\\[1ex] df_{\alpha(t)}(V(t)) &{}=\sum_i V^i(t)df_{\mathbf{x}(u(t))}\mathbf{x}_i(u(t))\\ &{}=\sum_i V^i(t)(f\circ\mathbf{x})_i(u(t)). \end{aligned} \]
Como $f$ é unha isometría, os coeficientes da primeira forma fundamental de $S_1$ na parametrización $\mathbf{x}$, ${}^1g_{ij}$, coinciden cos coeficientes da primeira forma fundamental de $S_2$ na parametrización $f\circ\mathbf{x}$, ${}^2g_{ij}$, xa que \[ \begin{aligned} {}^2g_{ij} &{}=\langle(f\circ\mathbf{x})_i,(f\circ\mathbf{x})_j\rangle\\ &{}=\langle(df\circ\mathbf{x})(\mathbf{x}_i),(df\circ\mathbf{x})(\mathbf{x}_j)\rangle\\ &{}=\langle\mathbf{x}_i,\mathbf{x}_j\rangle ={}^1g_{ij}. \end{aligned} \]
Como os símbolos de Christoffel dependen só dos coeficientes da primeira forma fundamental, obtemos ${}^1\Gamma_{ij}^k={}^2\Gamma_{ij}^k$, tomando a notación coherente coa anterior.
Por tanto, tendo en conta a expresión en coordenadas da derivada covariante, \[ \begin{aligned} df\Bigl(\frac{{}^1D}{dt}V\Bigr) &{}=df\left(\sum_k\Bigl(\frac{dV^k}{dt} +\sum_{i,j}V^i\frac{du^j}{dt}({}^1\Gamma_{ij}^k\circ u)\Bigr) (\mathbf{x}_k\circ u)\right)\\ &{}=\sum_k\Bigl(\frac{dV^k}{dt} +\sum_{i,j}V^i\frac{du^j}{dt}({}^1\Gamma_{ij}^k\circ u)\Bigr) df(\mathbf{x}_k\circ u)\\ &{}=\sum_k\Bigl(\frac{dV^k}{dt} +\sum_{i,j}V^i\frac{du^j}{dt}({}^2\Gamma_{ij}^k\circ u)\Bigr) \bigl((f\circ\mathbf{x})_k\circ u\bigr)\\ &{}=\frac{{}^2D}{dt}\bigl(df(V)\bigr), \end{aligned} \] como queriamos probar.
Dito dun xeito máis resumido: as isometrías conmutan coa derivada covariante, \[ df\Bigl(\frac{{}^1D}{dt}\Bigr)=\frac{{}^2D}{dt}\bigl(df\bigr). \]
Un campo de vectores $V$ ó longo de $\alpha$ dise paralelo se $\frac{D}{dt}V=0$ en tódolos puntos.
Se $\alpha$ é unha curva regular, ser paralelo non depende da parametrización de $\alpha$.
Sexa $S$ un plano en $\R^3$ a $\alpha\colon I\to S$ unha curva no plano. Sexa $V$ un campo ó longo de $\alpha$. Como o vector normal unitario de $S$ é constante $N_{\alpha(t)}=N$ temos que $\langle V,N\rangle=0$ implica \[ 0=\frac{d}{dt}\langle V,N\rangle =\langle \frac{dV}{dt},N\rangle, \] así que $\frac{DV}{dt}=\frac{dV}{dt}$. Por tanto, $V$ é paralelo se e só se $V$ é constante.
Sexan $V$ e $W$ campos paralelos ó longo dunha curva $\alpha$. Entón:
- $aV+bW$ é paralelo ó longo de $\alpha$ para calquera $a,b\in\R$.
- $\langle V,W\rangle$ é constante ó longo de $\alpha$.
Isto é consecuencia inmediata das propiedades da derivada covariante.
Sexa $S$ unha superficie orientable con estructura complexa $J$. Sexa $\alpha\colon I\to S$ unha curva en $S$. Entón, \[ \frac{D}{dt}J=J\frac{D}{dt}. \]
Sexa $S$ unha superficie orientable con estructura complexa $J$. Sexa $\alpha\colon I\to S$ unha curva en $S$. Se $V$ é paralelo ó longo de $\alpha$, entón tamén o é $JV$.
Xeodésicas
Sexa $S$ unha superficie regular.
Unha curva $\gamma\colon I\to S$ dise unha xeodésica se $\frac{D}{dt}\gamma'=0$.
Dito doutro xeito, unha curva é xeodésica se o seu vector tanxente é paralelo ó longo da propia curva.
A propiedade de ser xeodésica depende da parametrización. Por exemplo, $\gamma(t)=(t,0,0)$, é unha xeodésica no plano $z=0$, pero a curva $\sigma(t)=(t^3,0,0)$ ten a mesma traza ca $\gamma$ e non é xeodésica, xa que $\frac{D}{dt}\sigma'(t)=\sigma''(t)=(6t,0,0)\neq(0,0,0)$.
É común referirse a unha curva como xeodésica cando pode ser reparametrizada para ser unha xeodésica. Cando queiramos ser estrictos coa terminoloxía, a este tipo de curvas chamarémolas prexeodésicas. Non obstante, en moitos casos seremos menos precisos e tamén chamaremos xeodésica a unha curva que cando se reparametriza proporcionalmente ó arco é unha xeodésica no sentido da definición anterior.
As xeodésicas nunha superficie poden entenderse como as traxectorias inerciais dentro desa superficie, é dicir, como o movemento dunha partícula que só está suxeita ás forzas de ligadura da superficie (aquelas que obrigan á partícula a estar na superficie).
Sexa $\gamma$ unha xeodésica nunha superficie $S$. Entón, $\lVert\gamma'\rVert$ é constante.
Sexa $\gamma$ unha xeodésica. Entón, \[ \frac{d}{dt}\langle\gamma',\gamma'\rangle =2\langle\frac{D}{dt}\gamma',\gamma'\rangle=0, \] o que implica que $\langle\gamma',\gamma'\rangle$ é constante.
Sexa $\gamma\colon I \to S$ unha xeodésica non constante. Sexa $h\colon J\to I$ un difeomorfismo de intervalos de $\R$, e $\beta=\gamma\circ h$ a correspondente reparametrización de $\gamma$. Entón, $\beta$ é xeodésica se e só se $h$ é unha función afín.
As xeodésicas no plano son as rectas parametrizadas con velocidade constante.
As xeodésicas na esfera son círculos máximos parametrizados proporcionalmente ó arco. Máis concretamente, a xeodésica maximal $\gamma\colon\R\to\mathbb{S}^2(r)$ tal que $\gamma(0)=p\in\mathbb{S}^2(r)$ e $\gamma'(0)=v\in T_p\mathbb{S}^2(r)$ pode parametrizarse como \[ \gamma(t) =\cos\Bigl(\frac{\lVert v\rVert}{r}t\Bigr)\,p +\frac{r}{\lVert v\rVert}\sin\Bigl(\frac{\lVert v\rVert}{r}t\Bigr)\,v. \]
Se $\mathbf{x}$ é unha parametrización, e $\gamma$ está contida na súa imaxe, entón escribindo $\gamma(t)=\mathbf{x}(u(t))$ con $u(t)=(u^1(t),u^2(t))$ temos que $\gamma$ é xeodésica se e só se satisfai a ecuación diferencial \[ \frac{d^2u^k}{dt^2} +\sum_{i,j}\frac{du^i}{dt}\frac{du^j}{dt}(\Gamma_{ij}^k\circ u)=0, \] con $k=1,2$.
Sexa $S$ unha superficie regular, $p\in S$ e $v\in T_p S$. Entón existe unha única xeodésica $\gamma_v\colon I_v\to S$ tal que
- $I_v$ é un intervalo aberto.
- $0\in I_v$, $\gamma_v(0)=p$, $\gamma_v'(0)=v$.
- Se $\sigma\colon J\to S$ é outra xeodésica con $\sigma(0)=p$, $\sigma'(0)=v$, entón $J\subset I_v$ e $\sigma_{\vert J}=\gamma_{v\vert J}$.
- A xeodésicas $\gamma_v$ depende diferenciablemente de $p$, $v$, e $t$.
A existencia, unicidadade, e dependencia diferenciable das xeodésicas nunha veciñanza de $p$ séguese de escribi-la ecuación das xeodésicas en coordenadas e aplica-lo teorema de existencia, unicidade, e dependencia diferenciable con respecto das condicións iniciais para ecuacións diferenciais ordinarias.
Dúas xeodésicas satisfacendo as mesmas condicións iniciais teñen que coincidir na intersección dos conxuntos onde están definidas pois tal conxunto é non baleiro, aberto, e pechado por unicidade de solución das ecuacións diferenciais. Logo, a xeodésica maximal é a unión de tódalas xeodésicas con esas condicións iniciais.
Dúas xeodésicas dunha superficie poden intersecarse, por exemplo, como sucede na esfera. O conxunto de definición dunha xeodésica non ten por que ser todo $\R$.
Unha superficie regular $S$ dise xeodésicamente completa se toda xeodésica maximal desa superficie está definida en todo $\R$.
Sexa $f\colon S_1\to S_2$ é unha isometría entre superficies, e $\gamma\colon I\to S_1$ unha xeodésica. Entón $f\circ\gamma$ é unha xeodésica en $S_2$.
Denotemos por $\frac{{}^1D}{dt}$ á derivada covariante de $S_1$ ó longo de $\gamma$, e por $\frac{{}^2D}{dt}$ á derivada covariante de $S_2$ ó longo de $f\circ\gamma$. Como a derivada covariante e as isometrías conmutan, e $\gamma$ é unha xeodésica de $S_1$, temos \[ \begin{aligned} \frac{{}^2D}{dt}(f\circ\gamma)' &{}=\frac{{}^2D}{dt}\bigl(df(\gamma')\bigr)\\ &{}=df\Bigl(\frac{{}^1D}{dt}\gamma'\Bigr)=0, \end{aligned} \] co que $f\circ\gamma$ é xeodésica de $S_2$.
As xeodésicas do cilindro $\mathbb{S}^1\times\R$ correspóndense con hélices circulares, rectas verticais, ou circunferencias horizontais.
Para calcular estas xeodésicas observámo-lo feito de que o cilindro é localmente isométrico ó plano. De feito, o cilindro pode deformarse isometricamente nun plano mediante a homotopía por isometrías $\mathbf{x}\colon[0,1]\times\R^2\to\R^3$ dada por \[ \mathbf{x}_t(u,v)=\left( \frac{1 + t}{1 - t}\,\sin\Bigl(\frac{1 - t}{1 + t}u\Bigr),\, \frac{1 + t}{1 - t}\Bigl(1 - \cos\Bigl(\frac{1 - t}{1 + t}u\Bigr)\Bigr) - 1,\, v \right). \]
Probar que dous puntos distintos da recta rexeneratriz dun cilindro poden ser unidos por un número infinito de xeodésicas.
Curvatura xeodésica
Supoñamos que $S$ é unha superficie regular orientada e que $\mathbf{N}$ é un vector normal unitario orientado positivamente.
Sexa $\alpha\colon I\to S$ unha curva parametrizada polo parámetro lonxitude de arco. Entón $(\alpha'(s),J\alpha'(s),\mathbf{N}_{\alpha(s)})$ é unha base ortonormal positivamente orientada de $\R^3$ chamada triedro de Darboux.
Defínese a curvatura xeodésica de $\alpha$, $\kappa_g[\alpha]\equiv\kappa_g$, como \[ \kappa_g(s)=\langle\alpha''(s),J\alpha'(s)\rangle =\kappa(s)\langle\mathbf{n}(s),J\mathbf{t}(s)\rangle. \]
Por outro lado, a curvatura normal de $\alpha$, $\kappa_n[\alpha]=\kappa_n$, é \[ \begin{aligned} \kappa_n(s) &{}=\langle A_{\alpha(s)}(\alpha'(s)),\alpha'(s)\rangle\\ &{}=\langle\alpha''(s),\mathbf{N}_{\alpha(s)}\rangle\\ &{}=\kappa(s)\langle\mathbf{n}(s),\mathbf{N}_{\alpha(s)}\rangle. \end{aligned} \]
Así, para unha curva parametrizada por arco \[ \alpha''=\kappa_g\, J\alpha'+\kappa_n\,(\textbf{N}\circ\alpha). \]
No seguinte gráfico presentase a curvatura dunha curva, que ó estar contida nunha superficie se descompón como a súa compoñente tanxente (a curvatura xeodésica) e a súa compoñente normal (a curvatura normal). Desde o punto de vista da mecánica dunha partícula que se move dentro dunha superficie, a curvatura xeodésica expresa a súa aceleración normal dentro do medio no que está, mentres que a curvatura normal expresa as chamadas forzas de ligadura que fan que a partícula estea confinada a esa superficie.
Supoñamos agora que a curva $\alpha$ non está parametrizada por arco. Tomámo-lo parámetro lonxitude de arco $g(t)=\int_{t_0}^t\lVert\alpha'(u)\rVert\,du$. Definímo-las curvaturas xeodésica e normal de $\alpha$ como as curvaturas xeodésicas e normal da súa parametrización por arco en puntos correspondentes, é dicir, se $\beta(s)=\alpha(g^{-1}(s))$ entón \[ \begin{aligned} \kappa_g[\alpha](t) & {}=\kappa_g[\beta](g(t)),\\[1ex] \kappa_n[\alpha](t) & {}=\kappa_n[\beta](g(t)). \end{aligned} \]
Sexa $S$ unha superficie orientada, con vector normal $N$, e $\alpha\colon I\to S$ unha curva. Entón as súas curvaturas xeodésica e normal poden ser expresadas como \[ \begin{aligned} \kappa_g &{}=\frac{\det(\alpha',\alpha'',\mathbf{N}\circ\alpha)}{\lVert\alpha'\rVert^3},\\ \kappa_n &{}=\frac{\langle\alpha'',\mathbf{N}\circ\alpha\rangle}{\lVert\alpha'\rVert^2}. \end{aligned} \]
A curvatura xeodésica cambia de signo se invertímo-la orientación da curva. En efecto, se $\alpha\colon[a,b]\to S$ é unha curva regular e tomámo-la curva coa orientación inverida $\beta\colon[a,b]\to S$, $t\mapsto\beta(t)=\alpha(a+b-t)$, entón obtemos $\kappa_g[\alpha](t)=-\kappa_g[\beta](a+b-t)$.
Sexa $\gamma\colon I\to S$ unha curva nunha superficie regular $S$. Entón $\gamma$ ten curvatura xeodésica nula, ${\kappa_g=0}$, se e só se a súa reparamentrización por arco é un xeodésica.
Sexa $s(t)$ o parámetro lonxitude de arco e $\beta$ a reparametrización por arco de $\gamma$. Recordemos que por definición $\kappa_g[\beta](s(t))=\kappa_g[\gamma](t)$, é dicir, que a curvatura xeodésica coincide en puntos correspondentes.
Recordemos ademais, que por estar $\beta$ parametrizada por arco, temos $\beta''=\kappa_g[\beta]\, J\beta+\kappa_n[\beta]\, (\mathbf{N}\circ\beta)$. Por tanto, \[ \frac{D\beta'}{dt}=\kappa_g[\beta]\, J\beta. \] Entón, $\beta$ é xeodésica se e só se $\kappa_g[\beta]=0$, se e só se $\kappa_g[\gamma]=0$.
Unha curva é xeodésica se e só se está parametrizada proporcionalmente ó arco e a súa curvatura xeodésica é cero.
Este resultado séguese da proposición anterior, pero faremos unha demostración alternativa empregando a fórmula da curvatura xeodésica para unha curva regular arbitraria.
Supoñamos que $\gamma\colon I\to S$ é unha xeodésica. Xa vimos que $\gamma$ está parametrizada proporcionalmente ó arco. Descompoñendo $\gamma''$ na súa parte tanxente e normal obtemos \[ \begin{aligned} \gamma'' &{}=\frac{D\gamma'}{dt} +\langle\gamma'',\mathbf{N}\circ\gamma\rangle(\mathbf{N}\circ\gamma)\\ &{}=\langle\gamma'',\mathbf{N}\circ\gamma\rangle(\mathbf{N}\circ\gamma). \end{aligned} \] Por tanto, \[ \det(\gamma',\gamma'',\mathbf{N}\circ\gamma) =\langle\gamma'',\mathbf{N}\circ\gamma\rangle \det(\gamma',\mathbf{N}\circ\gamma,\mathbf{N}\circ\gamma)=0, \] o que implica $\kappa_g[\gamma]=0$.
Reciprocamente, supoñamos que $\langle\gamma',\gamma'\rangle=c\in\R$ e que $\kappa_g[\gamma]=0$. Como $\kappa_g[\gamma]=0$ temos que $\det(\gamma',\gamma'',\mathbf{N}\circ\gamma)=0$. Por tanto, $\gamma''$ depende linearmente de $\gamma'$ e $\mathbf{N}\circ\gamma$. Entón, podemos escribir \[ \gamma'' =\frac{1}{c}\langle\gamma'',\gamma'\rangle\gamma' +\langle\gamma'',\mathbf{N}\circ\gamma\rangle(\mathbf{N}\circ\gamma). \] Agora ben, $\langle\gamma',\gamma'\rangle=c$ implica que, derivando, $2\langle\gamma'',\gamma'\rangle=0$. Por tanto, $\gamma'' =\langle\gamma'',\mathbf{N}\circ\gamma\rangle(\mathbf{N}\circ\gamma)$, e en consecuencia, $\frac{D\gamma'}{dt}=0$.
Considerámo-la curva xeneratriz $\sigma(s)=(y(s),z(s))$, $y>0$, parametrizada por arco. A superficie de revolución xerada por esa curva pode parametrizarse como $\mathbf{x}(s,\theta)=(y(s)\cos\theta,y(s)\sin\theta,z(s))$. Entón:
- Os meridianos dunha superficie de revolución son xeodésicas.
- Un paralelo dunha superficie de revolución é unha xeodésica se e só se o vector tanxente á curva xeneratriz nese punto é vertical.
Considerámo-lo cono recto parametrizado como $\mathbf{x}(u,v)=(v\cos u, v\sin u, v)$, $v>0$. O cono é localmente isométrico a un plano; esta isometría consiste en desenvolve-lo cono ata transformalo nun sector circular. Por tanto, as xeodésicas do cono consisten en compoñe-las rectas dese sector circular coa isometría local.
Podemos deformar o cono nun aberto de plano mediante unha homotopía por isometrías $\mathbf{x}\colon[0,\pi/4]\times\R\times(0,\infty)\to\R^3$ definida como $\mathbf{x}_t=(x_t,y_t,z_t)$, onde \[ \begin{aligned} x_t(u,v)&{}= v\, \bigl(\cos t + \sin t\bigr) \cos\Bigl(\frac{u}{\cos t + \sin t}\Bigr),\\ y_t(u,v)&{}= v\, \bigl(\cos t + \sin t\bigr) \sin\Bigl(\frac{u}{\cos t + \sin t}\Bigr),\\[1ex] z_t(u,v)&{}= v \bigl(\cos t - \sin t\bigr). \end{aligned} \]
Transporte paralelo
O transporte paralelo danos un xeito de move-la xeometría local dunha superficie ó longo dunha curva. De feito, a especificación do transporte paralelo é equivalente a dar unha derivada covariante. En xeometría diferencial máis avanzada, a derivada covariante vese como unha versión infinitesimal do transporte paralelo, e efectivamente, ás veces é convinte especifica-lo transporte paralelo en vez da derivada covariante.
Ademais de estar intimamente relacionado coa derivada covariante, o transporte paralelo tamén está vinculado coa curvatura a través dun concepto denominado holonomía. Neste curso non trataremos esta última, pero daremos unha pequena idea do que quere dicir.
Sexa $\alpha\colon I\to S$ unha curva nunha superficie regular $S$. Sexa $t_0\in I$ e $v\in T_{\alpha(t_0)}S$. Entón existe un único campo de vectores paralelo $V$ ó longo de $\alpha$ tal que $V(t_0)=v$.
Supoñamos primeiro que $\alpha$ está contida nunha veciñanza coordenada $\mathbf{x}\colon U\subset\R^2\to S$, e poñamos $\alpha(t)=\mathbf{x}(u(t))$, $u(t)=(u^1(t), u^2(t))$, $V(t)=\sum_i V^i(t)\,\mathbf{x}_i(u(t))$, $v=\sum_i v^i\mathbf{x}_i(u(t_0))$. Entón, vimos que \[ \frac{DV}{dt}= \sum_k\left(\frac{dV^k}{dt} +\sum_{i,j}V^i\frac{du^j}{dt}(\Gamma_{ij}^k\circ u)\right) (\mathbf{x}_k\circ u). \] Por tanto, $V$ é paralelo se e só se \[ \begin{aligned} \frac{dV^k}{dt} &{}=-\sum_{i,j}V^i\frac{du^j}{dt}(\Gamma_{ij}^k\circ u),\\ V^k(t_0) &{}=v^k, \qquad k=1,2. \end{aligned} \] Este é un problema de valor inicial linear, co que ten solución única en todo o conxunto de definición.
Supoñamos agora que $\alpha(I)$ non está cuberto por unha veciñanza coordenada. Sexa $\beta$ o supremo dos $b>t_0$ tales que existe un único transporte paralelo en $[t_0,b]$. Obviamente $\beta>t_0$, pois para $b$ suficientemente próximo a $t_0$, $[t_0,b]$ está contido nunha veciñanza coordenada. Por definición de supremo, existe un único transporte paralelo no intervalo $[t_0,\beta)$. Se $\beta$ é un punto interior de $I$, existe $\delta>0$ tal que $\alpha((\beta-\delta,\beta+\delta))$ está contido nunha veciñanza coordenada. Nesa veciñanza coordenada existe un único transporte paralelo $\tilde{V}$ tal que $\tilde{V}(\beta-\delta/2)=V(\beta-\delta/2)$ pola primeira parte da proba. Por unicidade, $V=\tilde{V}$ onde coincidan, e por tanto, iso significa que podemos estender $V$ ata $\beta+\delta$, o que contradí a definición de supremo. En consecuencia, $\beta$ non pode ser interior, e así $V$ está definido en tódolos puntos de $I$ á dereita de $t_0$. Un argumento similar para o lado esquerdo remataría a demostración.
Sexa $S$ unha superficie regular e $\alpha\colon I\to S$ unha curva regular.
Definímo-lo transporte paralelo ó longo de $\alpha$ dende $t_0$ ata $t_1$ como a aplicación linear \[ P(\alpha)_{t_0}^{t_1}\colon T_{\alpha(t_0)}S\to T_{\alpha(t_1)}S \] tal que $P(\alpha)_{t_0}^{t_1}(v)=V(t_1)$, sendo $V$ o único campo de vectores paralelo ó longo de $\alpha$ tal que $V(t_0)=v$.
Se $S$ é un plano e $\alpha\colon I\to S$ é unha curva, entón $P(\alpha)_{t_0}^{t_1}(v)=v$.
A aplicación transporte paralelo é unha isometría linear entre espacios vectoriais métricos.
No gráfico amósase que para unha superficie non chá, transportar paralelamente ó longo dunha curva pechada non ten que ser necesariamente a identidade. Este é o fenómeno que se coñece como holonomía.
