Problemas de derivada covariante e xeodésicas

Sexa ${S}$ a superficie parametrizada por $\mathbf{x}(u,v)=(u,\,v,\,uv)$, onde $u,v\in\mathbb{R}$. Considerámo-lo campo tanxente a $S$ dado por $\mathbf{V}_{\mathbf{x}(u,v)}=(u,-v,0)$. Calcular de forma explícita a derivada covariante do campo de vectores $\mathbf{V}$ ó longo de cada unha das curvas seguintes da superficie ${S}$:

$C_1\colon\ u=t,\ v=0$.
$C_2\colon\ u=0,\ v=t$.
$C_3\colon\ u=v=t$.

Campo de vectores ó longo dunha liña $u$-parametrica. — Derivada covariante dun campo de vectores ó longo de $C_1$.

Campo de vectores ó longo dunha liña $v$-parametrica. — Derivada covariante dun campo de vectores ó longo de $C_2$.

Campo de vectores ó longo dunha diagonal. — Derivada covariante dun campo de vectores ó longo de $C_3$.

Sexa $S$ a esfera de radio $a$ parametrizada localmente por \[ \mathbf{x}(\theta,\varphi) =(a\cos\theta\cos\varphi,\, a\sin\theta\cos\varphi,\, a\sin\varphi). \]

Calcula-la derivada covariante respecto a $\theta$ do campo de vectores unitario $\mathbf{W}$ tanxente ós meridianos ó longo dun paralelo $\varphi =\varphi_0$. Discutir cando este campo de vectores $\mathbf{W}$ é paralelo.
Calcular de forma explícita a derivada covariante do campo de vectores tanxente unitario a un meridiano $\theta=\theta_0$ ó longo de dito meridiano, e do campo de vectores tanxente unitario a un paralelo $\varphi=\varphi_0$ ó longo de dito paralelo.

Considéranse os campos de vectores sobre $\mathbb{R}^3$ definidos por \[ \begin{aligned} \mathbf{W}(x,y,z) &{}=(-y,x,0), &{}\mathbf{T} &{}=\operatorname{rot}\mathbf{W}, \end{aligned} \] e sexa $\mathbf{x}(u,v)=(\cos u,\sin u,v)$ unha parametrización do cilindro $x^2+y^2=1$.

¿Son $\mathbf{W}$ e $\mathbf{T}$ paralelos ó longo das curvas $v$-paramétricas do cilindro?
¿E ó longo das hélices circulares $u(t)=v(t)=t$ do mesmo?

Campo de vectores horizontal ó longo dunha recta vertical no cilindro. — Campo de vectores $\mathbf{W}$ ó longo dunha curva $u$-paramétrica do cilindro.

Campo de vectores vertical ó longo dunha recta vertical no cilindro. — Campo de vectores $\mathbf{T}$ ó longo dunha curva $u$-paramétrica do cilindro.

Campo de vectores horizontal ó longo dunha hélice no cilindro. — Campo de vectores $\mathbf{W}$ ó longo da curva de coordenadas $(t,t)$.

Campo de vectores vertical ó longo dunha hélice no cilindro. — Campo de vectores $\mathbf{T}$ ó longo da curva de coordenadas $(t,t)$.

No conxunto aberto $U=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : z> 0\}$ considéranse os campos de vectores \[ \begin{aligned} \mathbf{X}(x,y,z) &{}=\left(\frac{x}{z},\frac{y}{z},1\right), &\mathbf{Y} &{}=\operatorname{rot}\mathbf{X}. \end{aligned} \] Sexa $\mathbf{x}(u,v)=(u\,\cos v,u\, \sin v,u)$.

¿É $\mathbf{X}$ paralelo ó longo das curvas do cono $v=$ constante?
¿É $\mathbf{Y}$ paralelo ó longo das curvas do cono $u=$ constante?

Campo de vectores tanxente a unha xeneratriz do cono. — Campo de vectores $\mathbf{X}$ ó longo de $v=$constante.

Campo de vectores tanxente un paralelo. — Campo de vectores $\mathbf{Y}$ ó longo de $u=$constante.

Para a superficie regular \[ {S}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2=4(\sqrt{z}-z)^2,\, 0<z<1\}, \] considerámo-la parametrización local \[ \mathbf{x}(u,v)=\bigl(2(\sqrt{u}-u)\cos v,\, 2(\sqrt{u}-u)\sin v,\, u\bigr), \] onde $0<u<1$ e $0<v<2\pi$. Sexa $\mathbf{W}(x,y,z)=(-y,x,1)$ un campo de vectores en $\mathbb{R}^3$.

¿É $\mathbf{W}$ un campo tanxente a ${S}$ ó longo da curva intersección co plano $z=\frac{1}{4}$?
¿É $\mathbf{W}$ paralelo ó longo de tal curva?

Campo de vectores diagonal ó longo dun ecuador dun queixo de tetilla. — Campo paralelo $\mathbf{W}$ ó longo dun ecuador.

Sexa ${S}$ a superficie de revolución \[ \mathbf{x}(r,\theta )=(r\cos\theta,\, r\sin\theta,\, r). \]

¿Forman os vectores $\mathbf{x}_1(r,\theta)$ un campo de vectores paralelo ó longo de $\theta =\theta_0$?
¿Forman os vectores $\mathbf{x}_2(r,\theta)$ un campo de vectores paralelo ó longo de $\theta =\theta_0$?

Sexa $S$ unha superficie orientada con estructura complexa $J$.

Probar que a estructura complexa é intrínseca á superficie, é dicir, que se pode expresar soamente en termos da primeira forma fundamental.
Probar que a curvatura xeodésica dunha curva é intrínseca.

Sexa $\textbf{x}$ unha parametrización positivamente orientada arredor de $p \in S$. Poñamos $p = \textbf{x}(u)$, e sexa ${v} \in T_p S$, que podemos escribir como ${v} = \sum_{i=1}^2 v^i \textbf{x}_i(u)$. Como $\textbf{x}$ está positivamente orientada, tamén o está $\textbf{N} \circ \textbf{x} = \frac{\textbf{x}_1 \times \textbf{x}_2} {\lVert\textbf{x}_1 \times \textbf{x}_2\rVert}$. Así, empregando as fórmulas do producto vectorial, \[ \begin{aligned} J_p(v) {}={}&{} \frac{\textbf{x}_1 \times \textbf{x}_2} {\lVert\textbf{x}_1 \times \textbf{x}_2\rVert} \times \left(\sum_{i=1}^2 v^i \textbf{x}_i\right)\\ {}={}&{} \frac{1}{\lVert\textbf{x}_1 \times \textbf{x}_2\rVert} ((\textbf{x}_1 \times \textbf{x}_2) \times (v^1\textbf{x}_1 + v^2\textbf{x}_2))\\ {}={}&{} \frac{1}{\lVert\textbf{x}_1 \times \textbf{x}_2\rVert} \Bigl(v^1(\langle \textbf{x}_1, \textbf{x}_1 \rangle \textbf{x}_2 - \langle \textbf{x}_2, \textbf{x}_1 \rangle \textbf{x}_1) + v^2(\langle \textbf{x}_1, \textbf{x}_2 \rangle \textbf{x}_2 - \langle \textbf{x}_2, \textbf{x}_1 \rangle \textbf{x}_1)\Bigr) \\ {}={} &{} \frac{1}{\sqrt{\det(g_{ij})}} \Bigl(-(v^1 g_{12} + v^2 g_{22})\textbf{x}_1 + (v^1 g_{11} + v^2 g_{12})\textbf{x}_2\Bigr). \end{aligned} \]

Tomemos agora $\alpha \colon I \to S$ unha curva parametrizada por arco. Temos \[ \begin{aligned} \kappa_g[\alpha](s) &{}= \langle \alpha''(s), J\alpha'(s) \rangle\\ &{}= \left\langle\frac{D\alpha'(s)}{ds}, J\alpha'(s) \right\rangle, \end{aligned} \] e tanto $\frac{D\alpha'(s)}{ds}$, como $J\alpha'(s)$, como o propio producto escalar, se poden expresar en termos da primeira forma fundamental.

Sexa $\mathbf{u}\in\R^3$ con $\lVert\mathbf{u}\rVert=1$. Sexa $S$ unha superficie tal que para cada $p\in S$ temos que $p+t\,\mathbf{u}\in S$ para todo $t\in \R$. Probar que para todo punto $p\in S$, a curva obtida ó intersecar $S$ co plano que pasa por $p$ con vector normal $\mathbf{u}$ é unha xeodésica.

Considerémo-la curva parametrizada por arco $\alpha \colon I \to S \cap (p + \textbf{u}^{\perp})$ provinte de interseca-la superficie $S$ co plano $p+\textbf{u}^\perp$ que pasa por $p$ e é perpendicular a $\mathbf{u}$.

Temos por hipótesis que $\alpha(s) + t \textbf{u} \in S$ para todo $t \in \R$. Derivando respecto de $t$, deducimos que $\textbf{u} \in T_{\alpha(s)} S$. Obviamente, $\alpha'(s) \in T_{\alpha(s)}S$ e $\langle \alpha'(s), \textbf{u} \rangle = 0$ para todo $s$ xa que $\alpha$ está contida en $p + \textbf{u}^{\perp}$. Deste xeito deducimos que o plano tanxente a $S$ en $\alpha(s)$ é $T_{\alpha(s)}S = \R \alpha'(s) \oplus \R \textbf{u}$.

Derivando $\langle \alpha'(s), \textbf{u} \rangle = 0$ obtemos $\langle \alpha''(s), \textbf{u} \rangle = 0$. Ademais, como a curva $\alpha$ está parametrizada por arco, temos $\langle \alpha'(s), \alpha'(s) \rangle = 1$. Derivando esta última igualdade, temos que $\langle \alpha''(s), \alpha'(s) \rangle = 0$. Polo tanto, deducimos que $\alpha''(s)$ é ortogonal a $\R \alpha'(s) \oplus \R \textbf{u}=T_{\alpha(s)}S$, é dicir, $\alpha''(s)$ é un vector normal á superficie. En consecuencia, \[ \frac{D\alpha'(s)}{ds} = \alpha''(s)^{\top} = \textbf{0}, \] de onde deducimos que $\alpha$ é xeodésica.

Un plano cortando a unha superficie desenvolvible. — Un plano que corta a un superficie regrada.

Calcula-la curvatura xeodésica das hélices $u=$ constante, que están contidas no helicoide definido por \[ \begin{aligned} x&{}=u \cos v, &y&{}=u \sin v, &z&{}=a\,v. \end{aligned} \]

Considerémo-la superficie $z=x\,y$, e sobre ela a curva parametrizada ${\alpha}(t) = (t,t^2,t^3)$.

Calcula-la curvatura xeodésica de ${\alpha}$.
Sexa o campo de vectores en $\R^3$ dado por $\mathbf{X}(x,y,z) = (x,-y,0)$. ¿É $\mathbf{X}$ un campo de vectores tanxente á superficie? ¿É paralelo ó longo de ${\alpha}(t)$?

Curva non xeodésica nun paraboloide regrado. — Outra curva nun paraboloide regrado.

Sexa ${S}$ a superficie dada pola gráfica da función $f(x,y)=xy$, e parametrizada por $\mathbf{x}(u,v)=(u,v,u\,v)$. Considerámo-la curva parametrizada ${\gamma}(t)=(t,-t,-t^2)$.

¿É ${\gamma}$ (pre)xeodésica?
¿Son xeodésicas as curvas paramétricas de ${S}$?

Xeodésica nun paraboloide regrado. — Curva nun paraboloide regrado.

Sexan ${S}_1$ e ${S}_2$ dúas superficies regulares que se intersecan ó longo dunha curva $\alpha(t)$. Sexa $\mathbf{V}(t)$ un campo de vectores ó longo de $\alpha(t)$ tanxente a ambas superficies. Mostrar que $\mathbf{V}(t)$ pode ser paralelo ó longo de $\alpha(t)$ na superficie ${S}_1$ e non selo na superficie ${S}_2$.

Sexa ${\alpha}(s)$ unha curva xeodésica sobre unha superficie ${S}$, e sexa $\mathbf{W}(s)$ un campo de vectores diferenciable tanxente a ${S}$ ó longo de ${\alpha}(s)$.

Proba que $\mathbf{W}(s)$ é paralelo se e só se $\lVert\mathbf{W}(s)\rVert$ é constante e o ángulo que forman os vectores $\mathbf{W}(s)$ e $\alpha'(s)$ é constante.
Se ${\alpha}$ non é unha curva xeodésica, ¿verifícase algunha das dúas implicacións anteriores?

Sexa $\mathbf{u}\in\R^3$, $\mathbf{u}=1$, e considerémo-la reflexión $F\colon\R^3\to\R^3$, dada por \[ F(p)=p-2\langle p,\mathbf{u}\rangle\mathbf{u}. \] Sexa $S$ unha superficie tal que $F(p)\in S$ para todo $p\in S$. Probar que se a intersección de $S$ co plano pola orixe que é ortogonal a $\mathbf{u}$ é unha curva, entón esa curva é unha xeodésica.

Sexa $\gamma \colon I \to S \cap \textbf{u}^{\perp}$ a curva parametrizada por arco que parametriza a intersección entre $S$ e o plano $\textbf{u}^\perp$ perpendicular ó vector $\textbf{u}$.

O primeiro que queremos facer é calcula-lo espacio tanxente $T_{\gamma(s)} S$ para cualquera $s \in I$.

Por construcción de $\gamma$, temos que $\langle \gamma(s), \textbf{u} \rangle = 0$ para todo $s$, co que derivando, $\langle \gamma'(s), \textbf{u} \rangle = 0$ e $\langle \gamma''(s), \textbf{u} \rangle = 0$ para todo $s$. Claramente $\gamma'(s) \in T_{\gamma(s)} S$. Consideremos agora $\alpha \colon J \to S$ con $\alpha(0) = \gamma(s)$. Supoñamos tamén que $\langle \alpha'(0), \textbf{u} \rangle \neq 0$, o cal é posible porque se $\alpha'(0)$ sempre fora ortogonal a $\textbf{u}$, teriamos que $S$ estaría contida en $\textbf{u}^\perp$, o cal non é posible porque $S\cap\textbf{u}^\perp$ é unha curva por hipótese. Tomamos $\beta = F \circ \alpha$, que está en $S$ por hipótese, é dicir, \[ \beta(t)=\alpha(t) - 2\langle \alpha(t), \textbf{u} \rangle \textbf{u} \in S, \] para todo $t\in J$. Ademais, como $\gamma$ é ortogonal a $\textbf{u}$, \[ \begin{aligned} \beta(0) &{}= \alpha(0) - 2\langle \alpha(0), \textbf{u} \rangle \textbf{u}\\ &{}= \gamma(s) - 2\langle \gamma(s), \textbf{u} \rangle \textbf{u}\\ &{}= \gamma(s), \end{aligned} \] co que $\beta$ é unha curva pasando por $\gamma(s)$. Ademais, \[ \beta'(0) = \alpha'(0) - 2\langle \alpha'(0), \textbf{u} \rangle \textbf{u} \in T_{\gamma(s)} S. \] Como $\alpha'(0) \in T_{\gamma(s)} S$, tense que $\langle \alpha'(0), \textbf{u} \rangle \textbf{u} \in T_{\gamma(s)} S$. Como ademais supuxemos $\langle\alpha'(0),\textbf{u}\rangle\neq 0$, concluímos que $\textbf{u} \in T_{\gamma(s)} S$. Polo tanto, o plano tanxente a $S$ en $\gamma(s)$ é $T_{\gamma(s)} S = \R \gamma'(s) \oplus \R \textbf{u}$.

Agora ben, $\langle \gamma'(s), \gamma'(s) \rangle = 1$, co que $\langle \gamma''(s), \gamma'(s) \rangle = 0$. Recordando tamén que $\langle \gamma''(s), \textbf{u} \rangle = 0$, concluímos que $\gamma''(s)$ é ortogonal a $\R \gamma'(s) \oplus \R \textbf{u}=T_{\gamma(s)} S$. En consecuencia, \[ \frac{D\gamma'(s)}{ds} = (\gamma''(s))^{\top} = \textbf{0}, \] e $\gamma$ é xeodésica.

Un plano de simetría cortando a unha superficie. — Un plano tal que a súa reflexión deixa unha superficie invariante.

Sexa ${S}$ a superficie xerada polas rectas binormais dunha curva regular ${\alpha}(s)$. Probar que a curva ${\alpha}(s)$ é unha xeodésica da superficie ${S}$.

Considérase a superficie regrada ${S}$ dada por $\mathbf{x}(s,t) ={\alpha}(s)+\frac{t}{\sqrt{2}}(\mathbf{t}(s) +\mathbf{b}(s))$, sendo ${\alpha}(s)$ unha curva regular parametrizada por arco, e $\mathbf{t}(s)$ e $\mathbf{b}(s)$ os vectores tanxente e binormal a $\alpha(s)$.

¿É ${\alpha}$ unha xeodésica de ${S}$?
¿É $\frac{1}{\sqrt{2}} (\mathbf{t}+\mathbf{b})$ un campo de vectores tanxente ó longo de ${\alpha}$? ¿É paralelo ó longo de ${\alpha}$?

¿Se unha superficie é tanxente a un plano ó longo dunha curva $\alpha$, entón $\alpha$ é unha xeodésica da superficie?

Sexa $S$ unha superficie orientable con estructura complexa $J$, $\alpha\colon I\to S$ unha curva parametrizada por arco, e $f\colon S\to S$ unha isometría tal que $f(\alpha(s))=\alpha(s)$, $df_{\alpha(s)}(J\alpha'(s))=-J\alpha'(s)$ para todo $s\in I$. ¿É $\alpha$ unha xeodésica?

Como $f\circ\alpha=\alpha$, e empregando que as isometrías conmutan coa derivada covariante, temos \[ \begin{aligned} \textup{d}f_{\alpha(s)}\Bigl(\frac{D\alpha'}{ds}\Bigr)(s) &{}=\frac{D}{ds}(\textup{d}f(\alpha'))(s)\\ &{}=\frac{D\alpha'}{ds}(s). \end{aligned} \] Por outra banda, empregando a curvatura xeodésica, e a outra hipótese, \[ \begin{aligned} \textup{d}f_{\alpha(s)}\Bigl(\frac{D\alpha'}{ds}\Bigr)(s) &{}=\textup{d}f_{\alpha(s)} \bigl(\kappa_g[\alpha](s)J_{\alpha(s)}\alpha'(s)\bigr)\\ &{}=\kappa_g[\alpha](s)\,\textup{d}f_{\alpha(s)} \bigl(J_{\alpha(s)}\alpha'(s)\bigr)\\ &{}=-\kappa_g[\alpha](s) J_{\alpha(s)}\alpha'(s)\\ &{}=-\frac{D\alpha'}{ds}(s). \end{aligned} \]

Combinando as dúas ecuacións anteriores deducimos $\frac{D\alpha'}{ds}=0$, e por tanto $\alpha$ é unha xeodésica.

Sexa $\mathbb{S}^2(1)$ a esfera unidade centrada na orixe de coordenadas. Sobre ela considerámo-los seguintes segmentos de curvas: \[ \begin{aligned} C_1 &{}=\{(x,y,z)\in \mathbb{S}^2(1): z=0,\, x,y\geq 0\},\\ C_2 &{}=\{(x,y,z)\in \mathbb{S}^2(1): x=0,\, y,z\geq 0\},\\ C_3 &{}=\{(x,y,z)\in \mathbb{S}^2(1): y=0,\, x,z\geq 0\}. \end{aligned} \] Calcula-lo transporte paralelo do vector $\mathbf{v}=(0,1,0)$ dende o punto ${p}=(1,0,0)$ ó longo de $C_1$ ata o punto ${q}=(0,1,0)$, logo ó longo de $C_2$ ata o punto ${r}=(0,0,1)$, e por último, ó longo de $C_3$ ata volver ó punto ${p}$.

Transporte paralelo nunha esfera. — Transporte paralelo na esfera ó longo da curva pechada $C*C'*C''$.

Sexa ${S}$ o hiperboloide $x^2+y^2-z^2=1$ parametrizado como superficie regrada \[ \mathbf{x}(s,v)=(\cos s - v\sin s,\, \sin s + v\cos s,\, v), \] $s\in(-\pi,\pi)$, e $v\in\R$. Considéranse as curvas paramétricas $C_1(s)$ (determinada por $\mathbf{x}(s,0)$, con $s\in[0,\frac{\pi}{2}]$), e $C_2(v)$ (determinada por $\mathbf{x}(0,v)$, con $v\in[0,1]$).

Calcula-lo transporte paralelo do vector $\mathbf{v}=(0,1,1)\in T_{(1,1,1)}{S}$ ó longo de $C_2$ ata $(1,0,0)$, e despois ó longo de $C_1$ ata chegar ó punto $q=(0,1,0)$.
Sexan os campos de vectores en $\mathbb{R}^3$ dados por $\mathbf{W}(x,y,z)=(-y,x,1)$ e $\mathbf{T}=\operatorname{rot}\mathbf{W}$. ¿Son $\mathbf{W}$ e $\mathbf{T}$ campos de vectores paralelos ó longo da curva $C_1$?

Transporte paralelo nun hiperboloide regrado. — Transporte paralelo nun hiperboloide regrado ó longo da curva $C_2*C_1$.

Derivada covariante nun hiperboloide regrado. — Campo de vectores $W$ ó longo de $C_1$.

Considerémo-la superficie (conoide recto) dada por \[ \begin{aligned} x&{}=r \cos \varphi,& y&{}=r \sin \varphi,& z&{}=f(\varphi), \end{aligned} \] onde $0<r<c$, $0<\varphi<2\pi$.

Calcula-la curvatura xeodésica das curvas $\varphi=$ constante.
¿Cando son (pre)xeodésicas as curvas $r=$ constante?

Hélice dentro dun conoide. — Curva $r=$ constante dentro dun conoide.

Sexa ${S}$ a superficie con primeira forma fundamental \[ \begin{aligned} g_{11}(u,v)&{}=1,& g_{12}(u,v)&{}=0,& g_{22}(u,v)&{}=f(u,v), \end{aligned} \] sendo $f$ unha función diferenciable. Probar que as curvas paramétricas $v=$ constante son xeodésicas da superficie.

Considéranse dúas esferas concéntricas de raios $r$ e $R$ $(r<R)$, e sexa $\varphi$ a proxección da esfera menor na esfera maior dende o centro común das dúas esferas. ¿É esta aplicación unha isometría? ¿Transforma xeodésicas en xeodésicas?

Considerémo-la superficie de revolución ${S}$ definida por \[ \mathbf{x}(u,v) =\left(\frac{1}{2}e^{v^2}\cos u,\, \frac{1}{2}e^{v^2}\sin u,\, e^v\right), \] con $u\in(-\pi,\pi)$ e $v\in\R$, e os campos de vectores en $\mathbb{R}^3$ dados por \[ \begin{aligned} \mathbf{U}(x,y,z) &{}=(-2y,2x,0), &\mathbf{V} &{}=\mathbf{U}+\operatorname{rot}\mathbf{U}. \end{aligned} \]

Probar que $\mathbf{U}$ é un campo de vectores tanxente a ${S}$.
¿É o campo de vectores $\mathbf{V}$ un campo de vectores tanxente ó longo da curva sobre ${S}$ determinada pola intersección co plano $z=1$?
¿É $\mathbf{V}$ un campo de vectores paralelo ó longo da curva anterior?
Considerámo-lo vector $\mathbf{w}=(1,0,1)\in T_{p}{S}$, sendo ${p}=(\frac{1}{2}e,0,e)\in{S}$. Calcula-lo vector obtido desprazando paralelamente $\mathbf{w}$ ó longo da curva $y=0$ ata o punto $\tilde{p}=(\frac{1}{2},0,1)\in{S}$ e despois ó longo da curva $z=1$ ata ${q}=(0,\frac{1}{2},1)\in{S}$.

Campo de vectores diagonal ó longo dun ecuador dunha superficie de revolución. — Campo de vectores $\mathbf{V}$ ó longo da curva $z=1$.

Campo de vectores horizontal ó longo dunha curva regular a trozos dunha superficie de revolución. — Transporte paralelo de $\mathbf{w}$ ó longo dunha curva regular a trozos.

Sobre a esfera $\mathbf{x}(\theta,\varphi )= (r\cos \theta \cos\varphi, r\cos\theta \sin \varphi, r\sin \theta )$, parametrizada en termos de latitude ($\theta$) e lonxitude ($\varphi$) considérase a circunferencia $\theta =\theta_0$.

Calcula-la curvatura xeodésica desa circunferencia nun punto arbitrario.
Comprobar se o campo de vectores tanxente a esa circunferencia é paralelo ó longo da mesma.
En caso negativo, se considerámo-lo vector tanxente á circunferencia nun punto ${p}$ e o trasladamos paralelamente ó longo da mesma, obterase de novo un vector en ${p}$ que formará un ángulo $\phi$ co vector de partida. ¿Cal será ese ángulo $\phi$?

Transporte paralelo ó longo dun paralelo na esfera.

Sexa ${S}$ o elipsoide de ecuación $x^2+y^2+\frac{z^2}{4}=1$. Sexan $C$ e $\tilde{C}$ as curvas sobre ${S}$ dadas por $z=\sqrt{2}$ e $z=0$, respectivamente. Parametriza-las curvas $C$ e $\tilde{C}$. ¿Son $C$ ou $\tilde{C}$ xeodésicas?

Considerémo-la superficie de revolución $S$ definida por \[ \mathbf{x}(\theta,t) =\bigl((2+\frac{1}{2}\sin 2t)\cos\theta, (2+\frac{1}{2}\sin 2t)\sin\theta,t\bigr), \] con $-\pi<\theta<\pi$, $0<t<2\pi$, e o campo de vectores $\mathbf{W}$ sobre $\mathbb{R}^3$ dado por $\mathbf{W}(x,y,z)=(-y,x,1)$.

Probar que $\mathbf{W}$ é un campo de vectores tanxente a $S$ ó longo da curva $\alpha(\theta)=\mathbf{x}(\theta,\pi/4)$. ¿É $\mathbf{W}$ paralelo ó longo de ${\alpha}(\theta)$?

Calcula-lo transportado paralelo do vector $\mathbf{W}({\alpha}(0))$ ó longo de ${\alpha}(\theta)$ ata o punto ${\alpha}(\pi)$.

Campo de vectores horizontal ó longo dun ecuador dunha superficie de revolución. — Campo de vectores $\mathbf{W}$ ó longo dun ecuador.

Na esfera de raio unidade e centro a orixe de coordenadas, $\mathbb{S}^2(1)$, considéranse dous meridianos ${\alpha}$ e ${\beta}$ que forman un ángulo $\theta$ no seu punto de corte no polo norte. Sexa $\mathbf{v}$ o vector tanxente a ${\alpha}$ nese punto e representemos por $\mathbf{u}$ e $\mathbf{w}$ os vectores obtidos no polo sur por desprazamento paralelo de $\mathbf{v}$ ó longo de ${\alpha}$ e ${\beta}$ respectivamente. ¿Cal é o ángulo que forman $\mathbf{u}$ e $\mathbf{w}$ no polo sur?

Transporte paralelo nunha esfera ó longo de dous meridianos. — Transporte paralelo na esfera ó longo de dous meridianos.

Sexa $\alpha(s)$ unha curva regular parametrizada polo parámetro lonxitude de arco e tal que a súa curvatura satisfai $\kappa(s)\cos\theta < 1$, para calquera $\theta\in (0,2\pi)$. Sexa ${S}$ a superficie tubular ó redor de $\alpha(s)$ parametrizada por \[ \mathbf{x}(s,\theta) ={\alpha}(s)+(\cos\theta)\,\mathbf{n}(s) +(\sin\theta)\,\mathbf{b}(s), \] con $\theta\in(0,2\pi)$. ¿Que condicións ten que satisface-la curva ${\alpha}(s)$ para que a curva $s$-paramétrica ${\beta}(s)=\mathbf{x}(s,\pi)$ sexa unha xeodésica da superficie? ¿Son xeodésicas de ${S}$ as curvas $\theta$-paramétricas?

Curva lonxitudinal nun tubo arredor dunha hélice.

Considerémo-la superficie regrada $S$ parametrizada por \[ \mathbf{x}(u,v)={}(\sinh u,\,u,\,\cosh u)+v\bigl(\phi(u),\,0,\,\phi(u)\bigr), \] con $u,v\in\mathbb{R}$, e onde $\phi\colon\R\to\R$ é a función analítica \[ \phi(u)= \begin{cases} \frac{e^u-1}{u} & \text{se $u\neq 0$},\\ 1 & \text{se $u=0$.} \end{cases} \] Considérase o campo de vectores $\mathbf{V}(x,y,z)=(1,0,1)$.

¿Son as curvas $v$-paramétricas xeodésicas?
Comprobar que o campo de vectores $\mathbf{V}$ é tanxente á superficie.
Sexa $\alpha(t)=\mathbf{x}(t,0)$. Probar que $\mathbf{V}$ é paralelo ó longo de $\alpha$.
Calcula-lo transporte paralelo ó longo de $\alpha$ do vector $(-1,-2,1)$ desde o punto $(0,0,1)$ ata o punto $(3/4, \log 2, 5/4)$.

En primeiro lugar calcularémo-lo vector normal dado pola aplicación de Gauss. Para iso calculámo-los campos de vectores coordenados \[ \begin{aligned} \textbf{x}_u &{}= (\cosh(u) + v\,\phi'(u), 1, \sinh(u) + v\,\phi'(u)),\\ \textbf{x}_v &{}= (\phi(u), 0, \phi(u)),\\[1ex] \end{aligned} \] e o seu producto vectorial \[ \begin{aligned} \textbf{x}_u \times \textbf{x}_v &{}= \begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\ \cosh(u) + v\,\phi'(u) & 1 & \sinh(u) + v\,\phi'(u) \\ \phi(u) & 0 & \phi(u) \end{vmatrix} \\ &{}= (\phi(u), \phi(u)(\sinh(u) - \cosh(u)), -\phi(u)) &{}= (\phi(u), -\phi(u)e^{-u}, -\phi(u)). \end{aligned} \] Este último ten norma $\lVert\textbf{x}_u \times \textbf{x}_v\rVert =\phi(u)\sqrt{2+e^{-2u}}$, de onde deducimos \[ \textbf{N}_{\textbf{x}(u,v)} = \frac{\left(1, -e^{-u}, -1\right)}{\sqrt{2 + e^{-2u}}}. \]

A continuación resolvémo-lo exercicio.

1. Se $u = u_0$ é constante, a curva $\beta(v) = \textbf{x}(u_0,v)$ é unha recta pasando polo punto ${(\sinh u_0,\,u_0,\,\cosh u_0)}$ con velocidade ${(\phi(u_0),\,0,\,\phi(u_0))}$ (parametrizada por velocidade constante), así que é unha xeodésica de $S$.

2. Como \[ \begin{aligned} \langle \textbf{V}_{\textbf{x}(u,v)}, \textbf{N}_{\textbf{x}(u,v)} \rangle &{}=\frac{1}{\sqrt{2 + e^{-2u}}} \langle (1,0,1),(1, -e^{-u}, -1)\rangle\\ &{} = 0, \end{aligned} \] temos que $\textbf{V}$ é tanxente a $S$.

3. A expresión explícita de $\alpha(t)$ é \[ \alpha(t) = \textbf{x}(t,0) = (\sinh(t), t, \cosh(t)). \] Como $\textbf{V}$ é un campo de vectores tanxente e constante ó longo de $S$, é paralelo ó longo de $\alpha$ (en xeral ó longo de calquera curva sobre $S$).

4. Temos \[ \begin{aligned} \alpha(0) &{}= (0, 0, 1),\\ \alpha(\log 2) &{}= \left(\frac{3}{4}, \log 2, \frac{5}{4}\right). \end{aligned} \] Como sabemos que $\textbf{V}$ é paralelo ó longo de $\alpha$, e aplicarlle a estructura complexa a un campo paralelo dá outro campo paralelo, $J\textbf{V}$ tamén será paralelo ó longo de $\alpha$. Facemos este cálculo: \[ \begin{aligned} J\textbf{V}_{\alpha(t)} &{}= \textbf{N}_{\alpha(t)} \times \textbf{V}_{\alpha(t)}\\ &{}= \frac{1}{\sqrt{2 + e^{-2t}}} \begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\ 1 & -e^{-t} & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}\\ &{} = \frac{\left(-e^{-t}, -2, e^{-t}\right)}{\sqrt{2 + e^{-2t}}}. \end{aligned} \] En concreto, \[ J\textbf{V}_{\alpha(0)} = \frac{(-1,-2,1)}{\sqrt{3}}. \] Polo tanto, o transporte paralelo buscado é \[ \begin{aligned} P(\alpha)_0^{\log 2}(-1,-2,1) {}={}& P(\alpha)_0^{\log 2}\left(\sqrt{3} \, J\textbf{V}_{\alpha(0)}\right)\\ {}={}&\sqrt{3} \, J\textbf{V}_{\alpha(\log 2)} \\ {}={}& \sqrt{3}\frac{\left(-1/2, -2, 1/2\right)}{\sqrt{9/4}}\\ {}={}&\frac{\sqrt{3}}{3}(-1,-4,1), \end{aligned} \] o que remata o exercicio.

Superficie regrada — Transporte paralelo ó longo da curva $\alpha$ da superficie regrada.