Problemas da aplicación exponencial

Recordemos que a estructura complexa é unha transformación ortogonal que preserva a orientación e que leva un vector noutro que é ortogonal a ese. Por isto último, e como as coordenadas polares xeodésicas son ortogonais, $J\mathbf{x}_r=\lambda\mathbf{x}_\theta$, $\lambda\neq 0$. Como $(\mathbf{x}_r,J\mathbf{x}_r)$ está positivamente orientada, temos $\lambda>0$. Como $J$ preserva a norma, \[ 1=\lVert\mathbf{x}_r\rVert =\lVert J\mathbf{x}_r\rVert =\lambda\lVert\mathbf{x}_\theta\rVert =\lambda\sqrt{g_{\theta\theta}}. \] Despexando $\lambda$, e tendo en conta que $J^2=\id$, obtemos \[ \begin{aligned} J\mathbf{x}_r &{}=\frac{1}{\sqrt{g_{\theta\theta}}}\,\mathbf{x}_\theta,\\ J\mathbf{x}_\theta &{}=-\sqrt{g_{\theta\theta}}\,\mathbf{x}_r. \end{aligned} \]

Tomamos $\mathbf{x}(u,v)=R(\cos u\cos v,\sin u\cos v,\sin v)$ as coordenadas xeográficas na esfera, con $R=40000/\pi$ Km.

As coordenadas cartesianas dos aeroportos son: \[ \begin{aligned} SCQ &{}=\mathbf{x}\Bigl(-8.4211\frac{\pi}{180}, 42.8918\frac{\pi}{180}\Bigr)\\ &{}=R(0.72471, -0.107293, 0.680616),\\[1ex] SCL &{}=\mathbf{x}\Bigl(-70.7944\frac{\pi}{180}, -33.3898\frac{\pi}{180}\Bigr)\\ &{}=R(0.274663, -0.788476, -0.550332),\\[1ex] CTS &{}=\mathbf{x}\Bigl(141.6866\frac{\pi}{180}, 42.7791\frac{\pi}{180}\Bigr)\\ &{}=R(-0.575902, 0.455039, 0.679174). \end{aligned} \]

Agora, empregando a fórmula para a distancia Riemanniana na esfera obtemos \[ \begin{aligned} d(SCQ,SCL) &{}=R\sphericalangle(SCQ,SCL)\\ &{}=R\arccos\frac{\langle SCQ,SCL\rangle}{R^2}\\ &{}=10568.4\textup{ Km},\\[1ex] d(SCQ, CTS) &{}=R\sphericalangle(SCQ,CTS)\\ &{}=R\arccos\frac{\langle SCQ,CTS\rangle}{R^2}\\ &{}=9991.2\textup{ Km}. \end{aligned} \] Por tanto, SCL queda máis lonxe de SCQ ca CTS.

Para a segunda parte tomamos SCQ con coordenadas ${(-8.4211, 43)}$ e CTS con coordenadas ${(141.6866, 43)}$. A lonxitude do paralelo 43 é $2\pi R\cos(43^{\circ})=29254.1$ Km. Por tanto, a lonxitude do arco buscado é \[ \frac{141.6866+8.4211}{360}\cdot 29254.1=12198\textup{ Km}. \] En consecuencia, a diferencia de lonxitude entre o arco do paralelo 43 que une SCQ con CTS e a xeodésica que os une é de $2207.8$ Km.

Temos que busca-lo maior aberto estrelado $U$ da orixe $\mathbf{0}\in T_p\mathbb{S}^2(r)$ tal que $\exp_p\colon U\to\exp_p(U)\subset\mathbb{S}^2(r)$ é un difeomorfosmo.

Se $v\in T_p\mathbb{S}^2(r)$ pertence a $U$, temos que $(\textup{d}\exp_p)_v\colon T_p\mathbb{S}^2(r)\to T_p\mathbb{S}^2(r)$ é un isomorfismo de espacios vectoriais. Podemos supoñer $v\neq \mathbf{0}$ pois $(\textup{d}\exp_p)_{\mathbf{0}}=\id$. Se $(\textup{d}\exp_p)_v$ non fose un isomorfismo existiría $w\in T_p\mathbb{S}^2(r)$, $w\neq\textbf{0}$, tal que $(\textup{d}\exp_p)_v(w)=\mathbf{0}$.

Para avalia-la condición anterior recordémo-la fórmula explícita da exponencial na esfera : \[ \exp_p(v)=\Bigl(\cos\frac{\lVert v\rVert}{r}\Bigr)p +\frac{r}{\lVert v\rVert}\Bigl(\sin\frac{\lVert v\rVert}{r}\Bigr)v. \] A súa diferencial pode ser calculada explicitamente: \[ \begin{aligned} (\textup{d}\exp_p)_v(w) {}={}&\frac{d}{dt}\bigg\vert_{0}\exp_p(v+tw)\\ {}={}&\frac{d}{dt}\bigg\vert_{0} \Bigl(\cos\frac{\lVert v+tw\rVert}{r}\Bigr)p\\ &{}+\frac{d}{dt}\bigg\vert_{0} \frac{r}{\lVert v+tw\rVert}\Bigl(\sin\frac{\lVert v+tw\rVert}{r}\Bigr)(v+tw)\\ {}={}&-\frac{\langle v,w\rangle}{r\lVert v\rVert} \Bigl(\sin\frac{\lVert v\rVert}{r}\Bigr)p -\frac{r\langle v,w\rangle}{\lVert v\rVert^3} \Bigl(\sin\frac{\lVert v\rVert}{r}\Bigr)v\\ &+\frac{\langle v,w\rangle}{\lVert v\rVert^2} \Bigl(\cos\frac{\lVert v\rVert}{r}\Bigr)v +\frac{r}{\lVert v\rVert} \Bigl(\sin\frac{\lVert v\rVert}{r}\Bigr)w. \end{aligned} \]

Supoñamos que $(\textup{d}\exp_p)_v(w)=0$. Como $v$ e $w$ son tanxentes e $p$ é normal á esfera, o coeficiente de $p$ na expresión anterior debe anularse, é dicir, \[ -\frac{\langle v,w\rangle}{r\lVert v\rVert} \Bigl(\sin\frac{\lVert v\rVert}{r}\Bigr)=0. \] Se fose $\sin\frac{\lVert v\rVert}{r}\neq 0$ teriamos $\langle v,w\rangle =0$, e así, \[ 0=(\textup{d}\exp_p)_v(w) =\frac{r}{\lVert v\rVert} \Bigl(\sin\frac{\lVert v\rVert}{r}\Bigr)w. \] Isto implicaría $w=\textbf{0}$ o que non é posible. Por tanto, $\sin\frac{\lVert v\rVert}{r}= 0$, ou $\lVert v\rVert=rk\pi$, $k\in\Z$, $k\neq 0$.

Vexamos que entón o conxunto buscado é $B(\textbf{0},r\pi)$. En primeiro lugar vexamos que $U\subset B(\textbf{0},r\pi)$. Se non fose así, existiría $v\in U$ con $\lVert v\rVert>r\pi$. Por hipótese $U$ é estrelado con respecto da orixe, así que $tv\in U$ para todo $t\in[0,1]$. Como $\lVert tv\rVert=t\lVert v\rVert> tr\pi$, existiría $t_0\in[0,1]$ tal que $\lVert t_0 v\rVert=r\pi$. Pero entón $t_0 v\in U$ e $(\textup{d}\exp_p)_{t_0 v}$ non sería un isomorfismo, contradicción. Logo $U\subset B(\textbf{0},r\pi)$. Para rematar só hai que ver que $\exp_p$ é un difemorfismo entre $B(\textbf{0},r\pi)$ e a súa imaxe. Para iso só é necesario comprobar que $\exp_p$ é inxectiva en $B(\textbf{0},r\pi)$.

Supoñamos pois que $\exp_p(v_1)=\exp_p(v_2)$. Volvendo a utiliza-la expresión explícita da exponencial da esfera, \[ \begin{aligned} &\Bigl(\cos\frac{\lVert v_1\rVert}{r}\Bigr)p +\frac{r}{\lVert v_1\rVert}\Bigl(\sin\frac{\lVert v_1\rVert}{r}\Bigr)v_1\\ {}={}&\Bigl(\cos\frac{\lVert v_2\rVert}{r}\Bigr)p +\frac{r}{\lVert v_2\rVert}\Bigl(\sin\frac{\lVert v_2\rVert}{r}\Bigr)v_2 \end{aligned} \] e tendo en conta que $v_1$ e $v_2$ son tanxentes, mentres que $p$ é normal, obtemos $\cos\frac{\lVert v_1\rVert}{r}=\cos\frac{\lVert v_2\rVert}{r}$. Como $0\leq \lVert v_i\rVert<r\pi$, isto implica $\lVert v_1\rVert=\lVert v_2\rVert$, e podemos supoñer $v_1,v_2\neq\mathbf{0}$. Pero entón, os coeficientes de $v_1$ e $v_2$ son iguais e non nulos, o que implica $v_1=v_2$, como faltaba por ver.

Sexa $\{p_k\}$ unha sucesión de Cauchy en $S$ con respecto da distancia riemanniana $d$. Como $d_{\R^3}(p_k,p_l)\leq d(p_k,p_l)$ deducimos que $\{p_k\}$ tamén é unha sucesión de Cauchy en $\R^3$. Como $\R^3$ é completo, existe $p\in \R^3$ tal que $\{p_k\}\to p$. Pero $S$ é pechada, así que $p\in S$. Como a topoloxía de $S$ como subconxunto de $\R^3$ e a topoloxía de $S$ inducida pola distancia riemanniana coinciden, $\{p_k\}$ converxe a $p$ coa distancia riemanniana $d$. Por tanto, probamos que toda sucesión de Cauchy en $S$ coa distancia $d$ é converxente coa distancia $d$. Polo Teorema de Hopf-Rinow, $S$ é completa.

Considerámo-la curva $\alpha\colon\R\to\R^2$ definida por \[ \alpha(t)=\bigl((1+e^{-t})\cos t, (1+e^{-t})\sin t\bigr). \] Empezamos por calcula-lo seu parámetro lonxitude de arco.

Derivando, \[ \alpha'(t)= \bigl(-e^{-t}\cos t-(1+e^{-t})\sin t, -e^{-t}\sin t+(1+e^{-t})\cos t\bigr). \] Entón a norma da derivada é \[ \begin{aligned} \lVert\alpha'(t)\rVert^2={} &{}\bigl(-e^{-t}\cos t-(1+e^{-t})\sin t\bigr)^2\\ &{}+\bigl(-e^{-t}\sin t+(1+e^{-t})\cos t\bigr)^2\\ {}={}&{}e^{-2t}+(1+e^{-t})^2\\ {}={}&{}2e^{-2t}+2e^{-t}+1. \end{aligned} \]

Sexa $s(t)=\int_0^t\lVert\alpha'(u)\rVert\textup{d}u$ o parámetro lonxitude de arco de $\alpha$, e denotemos por $\beta(s)=\alpha(t(s))$ a correspondente curva reparametrizada por arco (sendo $t(s)$ a inversa de $(s(t)$). Tamén escribimos $\beta(s)=(x(s),y(s))$ e definimos \[ \mathbf{y}(s,v)=(x(s),y(s),v), \] con $(s,v)\in\R^2$.

Obviamente $s(t)$ é unha función estrictamente monótona crecente pois $s'(t)=\lVert\alpha'(t)\rVert > 0$. Ademais, \[ \begin{aligned} \lim_{t\to\infty} s(t) &{}=\int_0^\infty\sqrt{2e^{-2t}+2e^{-t}+1}\,\textup{d}t\\ &{}>\int_0^\infty 1\,\textup{d}t=\infty. \end{aligned} \] Analogamente, \[ \begin{aligned} \lim_{t\to-\infty} s(t) &{}=-\int_{-\infty}^0\sqrt{2e^{-2t}+2e^{-t}+1}\,\textup{d}t\\ &{}<-\int_{-\infty}^0 1\,\textup{d}t=-\infty. \end{aligned} \] Isto proba que $s\colon\R\to\R$ é un difeomorfismo entre $\R$ e $\R$. Por tanto, $\mathbf{y}(\R^2)=\mathbf{x}(\R^2)$ define exactamente a mesma superficie ca antes.

Agora calculámo-la primeira forma fundamental: \[ \begin{aligned} \mathbf{y}_s &{}=(x',y',0),\\ \mathbf{y}_v &{}=(0,0,1),\\[1ex] g_{ss} &{}=(x')^2+(y')^2=\lVert\beta'\rVert=1,\\ g_{sv} &{}=0,\\ g_{vv} &{}=1. \end{aligned} \] Estes cálculos amosan que de feito $\mathbf{y}$ establece unha isometría entre o plano e a superficie. Como o plano é completo, tamén o é a superficie.

Finalmente vexamos que a superficie non é pechada. Simplemente tomámo-la sucesión $\{((1+e^{-2k\pi})\cos(2k\pi), (1+e^{-2k\pi})\sin(2k\pi), 0)\} =\{(1+e^{-2k\pi}, 0, 0)\}$ que está contida na superficie, pero é tal que o seu límite $(1,0,0)$ non é un punto da superfice. Logo, a superficie non é pechada.

($\Rightarrow$) Supoñamos que $S$ é completa, e sexa $\alpha\colon [0,b)\to S$ unha curva regular que diverxe a infinito. Pola contra supoñamos que $\alpha$ ten lonxitude finita, é dicir, que \[ \begin{aligned} L:={} &{}\int_0^b\lVert\alpha'\rVert =\lim_{t\to b}\int_0^t\lVert\alpha'\rVert\\ {}={}&\lim_{t\to b}L\bigl(\alpha_{\vert[0,t]}\bigr) \end{aligned} \] é un número real. Veremos que isto conduce a unha contradicción.

Sexa $\{t_k\}$ unha sucesión converxendo a $b$. Vexamos que $\{\alpha(t_k)\}$ é unha sucesión de Cauchy.

Sexa $\epsilon>0$ dado. Por definición de límite existe $N\in\N$ tal que se $k\geq N$ entón \[ \begin{aligned} L\bigl(\alpha_{[t_k,b)}\bigr) &{}=\int_{t_k}^b\lVert\alpha'\rVert\\ &{}=\int_0^b\lVert\alpha'\rVert - \int_0^{t_k}\lVert\alpha'\rVert\\ &{}=L-\int_0^{t_k}\lVert\alpha'\rVert <\epsilon. \end{aligned} \] Por tanto, se $k,l\geq N$ (supoñamos que $t_k\leq t_l$) tamén temos \[ \begin{aligned} d(\alpha(t_k),\alpha(t_l)) &{}\leq L\bigl(\alpha_{\vert[t_k,t_l]}\bigr)\\ &{}\leq L\bigl(\alpha_{\vert[t_k,b]}\bigr) <\epsilon. \end{aligned} \] Isto proba que efectivamente $\{\alpha(t_k)\}$ é unha sucesión de Cauchy en $S$ coa distancia Riemanniana.

Como $S$ é completa, $\{\alpha(t_k)\}$ é unha sucesión converxente, poñamos $\{\alpha(t_k)\}\to p\in S$. Sexa agora $U$ unha veciñanza compacta de $p$. Como $\alpha$ diverse a infinito, existe $T\in(0,b)$ tal que $\alpha(t)\notin U$ para todo $t> T$. Isto contradí que $\{t_k\}\to b$ e $\{\alpha(t_k)\}\to p$.

($\Leftarrow$) Reciprocamente, supoñamos que $S$ non é completa, e vexamos que existe unha curva con lonxitude finita que diverxe a infinito.

Polo teorema de Hopf-Rinow existe unha xeodésica maximal $\gamma\colon[0,b)\to S$ con $b<\infty$. Podemos supoñer que está parametrizada por arco, e así $L(\gamma)=b<\infty$. Vexamos que $\gamma$ diverxe a infinito.

Pola contra, supoñamos que $\gamma$ non diverxe a infinito, é dicir, que existe $K\subset S$ compacto e unha sucesión $\{t_k\}\subset(0,b)$ tal que $\{t_k\}\to b$ e $\gamma(t_k)\in K$ para todo $k\in\N$. Como $K$ é compacto, $\{\gamma(t_k)\}$ ten unha subsucesión converxente. Cambiando a esta subsucesión, podemos supoñer que $\{\gamma(t_k)\}$ converxe a un punto $p\in S$.

Sexa $U$ una veciñanza $\delta$-uniformemente normal de $p$. Sexa $k\in\N$ suficientemente grande como para que $b-t_k<\delta/2$ e $\gamma(t_k)\in U$. Como $\gamma(t_k)\in U\subset B_\delta(\gamma(t_k))$, que é unha veciñanza normal, existe unha xeodésica $\sigma\colon(-\delta,\delta)\to B_\delta(\gamma(t_k))$ tal que $\sigma(0)=\gamma(t_k)$ e $\sigma'(0)=\gamma'(t_k)$. Esta xeodésica $\sigma$ permite estender $\gamma$ ata o intervalo $[0,t_k+\delta)$. Contradicción, pois $\gamma$ era maximal e $t_k+\delta > b-\delta/2+\delta=b+\delta/2 > b$.