Problemas do Teorema de Gauss-Bonnet
Problemas do Teorema de Gauss-Bonnet
Consideremos en $\R^2$ a orientación canónica e sexa $\alpha(t)=(\cos t,\sin t)$, $t\in[0,2\pi]$, unha parametrización da circunferencia unidade. Probar, empregando a definición, que $\alpha$ está positivamente orientada.
A curva $\alpha$ é o borde da rexión $R=B\bigl((0,0),1\bigr)$. En primeiro lugar temos $\alpha'(t)={(-\sin t,\cos t)}$, e por tanto, $J\alpha'(t)={(-\cos t,-\sin t)}=-\alpha(t)$.
Sexa agora $t\in[0,2\pi]$ arbitrario e $\beta\colon[0,\epsilon)\to \overline{R}=B\bigl[(0,0),1\bigr]$ unha curva tal que $\beta(0)=\alpha(t)$ e $\beta'(0)$ non é colinear con $\alpha'(t)$. Sexa $f(s)=\langle\beta(s),\beta(s)\rangle$. Por definición, $f(s)\leq 1$ para todo ${s\in[0,\epsilon)}$, e $f(0)=1$. Por un lado, \[ f'(0^+)=\lim_{s\to 0^+}\frac{f(s)-f(0)}{s-0}\leq 0. \] Polo outro, \[ \begin{aligned} f'(0^+) &{}=2\langle\beta'(0),\beta(0)\rangle\\ &{}=-2\langle\beta'(0),J\alpha'(t)\rangle, \end{aligned} \] de onde deducimos $\langle\beta'(0),J\alpha'(t)\rangle\geq 0$. Agora ben, a igualdade dáse cando $\beta'(0)$ e $J\alpha'(t)$ son ortogonais, o que pasa precisamente cando $\beta'(0)$ e $\alpha'(t)$ son colineares. En consecuencia, $\langle\beta'(0),J\alpha(t)\rangle> 0$.
Calcula-lo ángulo de rotación da curva pechada admisible $\alpha\colon[0,6]\to\R^2$ dada por: \[ \alpha(t)= \begin{cases} \bigl(t,t^2\bigr) & 0\leq t\leq 1,\\[1ex] \bigl(1,3-2 t\bigr) & 1\leq t\leq 2, \\ \Bigl(1+2 \cos \bigl(\frac{\pi(t-3)}{2}\bigr), 1+2 \sin \bigl(\frac{\pi(t-3)}{2}\bigr)\Bigr) & 2\leq t\leq 5, \\ \bigl(t-6,6-t\bigr) & 5\leq t\leq 6. \end{cases} \]
Sexan $p_1$, $p_2$, $p_3\in\R^2$ puntos non colineares e $\beta$ a curva de Bézier cuadrática determinada por $p_1$, $p_3$, e $p_2$, é dicir, $\beta\colon[0,1]\to\R^2$ definida como \[ \beta(t)=(1-t)^2p_1+2t(1-t)p_3+t^2 p_2. \] Probar que $\beta$ une $p_1$ con $p_2$, e que o seu ángulo de rotación é monótono entre os ángulos dos vectores $p_3-p_1$ e $p_2-p_3$.
A comprobación $\beta(0)=p_1$ e $\beta(1)=p_2$ é inmediata.
Escribimos $\beta(t)=(u(t),v(t))$. Sexa $\mathbf{t}=\beta'/\lVert\beta'\rVert$ o vector tanxente unitario. Entón, se $\mathbf{t}(t)=(x(t),y(t))$, temos que \[ \begin{aligned} x&{}=\frac{u'}{\sqrt{(u')^2+(v')^2}},\\ y&{}=\frac{v'}{\sqrt{(u')^2+(v')^2}}.\\ \end{aligned} \]
Denotemos por $\theta$ o ángulo de rotación de $\beta$. Revisando a demostración da proposición que nos dá a construcción do ángulo de rotación para unha curva regular, e substituíndo, \[ \begin{aligned} \theta'={} &xy'-yx'\\ {}={}&{}\frac{u'}{\sqrt{(u')^2+(v')^2}} \left(\frac{v'}{\sqrt{(u')^2+(v')^2}}\right)'\\ &{}-\frac{v'}{\sqrt{(u')^2+(v')^2}} \left(\frac{u'}{\sqrt{(u')^2+(v')^2}}\right)'\\ {}={}&{}\frac{u'v''-v'u''}{(u')^2+(v')^2}. \end{aligned} \]
Para continuar escribimos $p_i=(x_i,y_i)$, $i\in\{1,2,3\}$. Xa que o denominador da expresión anterior é claramente positivo, para determina-la monotonicidade de $\theta(t)$ só temos que fixarnos no numerador de $\theta'(t)$. Denotemos este por $\varphi(t)$. Nótese que $\beta'(t)=-2(1-t)p_1+(2-4t)p_3+2tp_2$, e $\beta''(t)=2p_1-4p_3+2p_2$. Entón, \[ \begin{aligned} \varphi(t)={} &{}\bigl(-2(1-t)x_1+(2-4t)x_3+2tx_2\bigr)\bigl(2y_1-4y_3+2y_2\bigr)\\ &{}-\bigl(-2(1-t)y_1+(2-4t)y_3+2ty_2\bigr)\bigl(2x_1-4x_3+2x_2\bigr)\\ {}={}&{} \begin{vmatrix} x_3-x_1 & x_2-x_1\\ y_3-y_1 & y_2-y_1 \end{vmatrix} \neq 0 \end{aligned} \] xa que $p_3-p_1$ e $p_2-p_1$ son linearmente independentes por hipótese.
Como $[0,1]$ é conexo e $\theta'$ é continua, temos $\theta'>0$ ou $\theta'< 0$ en $[0,1]$, o que implica que $\theta$ é estrictamente monótona.
Sexa o toro de revolución de radios $0<r<a$ parametrizado por \[ \mathbf{x}(u,v)=((a+r\,\cos u)\cos v,(a+r\,\cos u)\sin v, r\, \sin u), \] con $-\pi<u,v<\pi$.
- Parametriza-las liñas paramétricas. ¿Son xeodésicas?
- Calcula-la curvatura integral da imaxen do polígono de lados $C_i$, $i=1,2,3,4$, onde: \[ \begin{aligned} C_1\colon& {\ }u=t,\ v=0, & & t\in [0,\frac{\pi}{2}],\\ C_2\colon& {\ }u=\frac{\pi}{2},\ v=t, & & t\in [0,\frac{\pi}{2}],\\ C_3\colon& {\ }u=\frac{\pi}{2}-t,\ v=\frac{\pi}{2}, && t\in [0,\frac{\pi}{2}],\\ C_4\colon & {\ }u=0,\ v=\frac{\pi}{2}-t, & & t\in [0,\frac{\pi}{2}]. \end{aligned} \]
Sexa $S$ o paraboloide $z=x^2+y^2$. Calcula-la curvatura integral da rexión $\mathfrak{R}$ limitada polas curvas \[ \begin{aligned} C_1\colon & {\ }z=1, && 0\leq y\leq 1,\\ C_2\colon & {\ }y=0, && 1\leq z\leq 4,\\ C_3\colon & {\ }z=4, && 0\leq y\leq 2. \end{aligned} \]
Sobre o cono parametrizado por $\mathbf{x}(u,v)=(a\, u\cos v ,a\, u \sin v , b\, u)$, con $a,b\in[1,+\infty)$, $u\in (0,\infty)$, $v\in(-\pi ,\pi)$, calcular tódolos termos da formula de Gauss-Bonnet para a rexión limitada polas curvas paramétricas \[ \begin{aligned} C_1\colon & {\ }u=1, && 0\leq v\leq{\pi}/{2},\\ C_2\colon & {\ }v=0, && 1\leq u\leq 2,\\ C_3\colon & {\ }u=2, && 0\leq v\leq{\pi}/{2},\\ C_4\colon & {\ }v={\pi}/{2}, && 1\leq u\leq2. \end{aligned} \]
Sexa $S$ o hiperboloide $x^2+y^2-z^2=1$. Sexa \[ \mathbf{x}(s,v)=(\cos s ,\sin s , 0)+v(-\sin s, \cos s, 1), \] $s\in (-\pi,\pi)$, $v\in \mathbb{R}$, unha parametrización de $S$ como superficie regrada. Calcula-la curvatura integral da rexión $\mathfrak{R}$ limitada polas curvas paramétricas: \[ \begin{aligned} C_1\colon & {\ }v=0, && 0\leq s\leq{\pi}/{2},\\ C_2\colon & {\ }s={\pi}/{2}, && 0\leq v\leq 1,\\ C_3\colon & {\ }v=1, && 0\leq s\leq{\pi}/{2},\\ C_4\colon & {\ }s=0, && 0\leq v\leq 1. \end{aligned} \]
Sexa $\mathbb{S}^2(1)$ a esfera centrada na orixe e de radio $1$ parametrizada como $\mathbf{x}(\phi,\theta)=(\cos\phi\cos\theta,\cos\phi\sin\theta,\sin\phi)$. Calcula-la área da rexión $\mathfrak{R}$ delimitada polos puntos ${P}= (\frac{\sqrt{3}}{2},0,\frac{1}{2})$, ${Q}=(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}},\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}},\frac{1}{2})$, ${N}=(0,0,1)$, e estando a fronteira de $\mathfrak{R}$ formada por curvas paramétricas da parametrización da esfera.
Sexa $\mathbb{S}^2(1)$ a esfera centrada na orixe e de radio $1$ parametrizada como $\mathbf{x}(\theta,\phi)=(\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,\sin\phi)$. Calcula-la área da rexión $\mathfrak{R}$ delimitada polos puntos ${P}=(\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2})$, ${Q}=(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$, ${N}=(0,0,1)$, e estando a fronteira de $\mathfrak{R}$ formada por curvas paramétricas da parametrización da esfera.
Sexa $S$ o cilindro circular recto parametrizado mediante a fórmula \[ \mathbf{x}(u,v)=(\cos u,\sin u,v), \] $-\pi<u<\pi$, e $v\in\R$.
Obter tódolos termos do Teorema de Gauss-Bonnet na rexión $\mathbf{x}(\mathfrak{R})$, sendo $\mathfrak{R}$ a rexión do plano sombreada no plano $uv$ dado na figura. figura.
Sexa $S$ o elipsoide \[ \left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2 +\left(\frac{z}{c}\right)^2=1. \] Calcula-la curvatura integral da rexión $\mathfrak{R}$ limitada polas curvas \[ \begin{aligned} C_1\colon & {\ }z=0, && 0\leq y\leq b,\\ C_2\colon & {\ }y=0, && 0\leq z\leq c. \end{aligned} \]
