Problemas de repaso de curvas e superficies

Tanto a curvatura de Gauss como a curvatura media poden calcularse a partir dos coeficientes da primeira e da segunda forma fundamental.

Empezamos polo catenoide. Primeiro calculámo-los campos coordenados. \[ \begin{aligned} \textbf{x}_t(t, \theta) &{}= (\sinh t \cos \theta, \sinh t \sin \theta, 1),\\ \textbf{x}_{\theta} (t, \theta) &{}= (-\cosh t \sin\theta, \cosh t \cos\theta, 0). \end{aligned} \] Por tanto, os coeficientes da primeira forma fundamental son \[ \begin{aligned} g_{t t}(t, \theta) &{} = \langle \textbf{x}_t, \textbf{x}_t \rangle(t, \theta)\\ &{}= \sinh^2 t + 1 = \cosh^2 t,\\[1ex] g_{t \theta}(t, \theta) &{} = \langle \textbf{x}_t, \textbf{x}_{\theta} \rangle(t, \theta) \\ &{}= 0,\\[1ex] g_{\theta \theta}(t, \theta) &{}= \langle \textbf{x}_{\theta}, \textbf{x}_{\theta} \rangle (t, \theta)\\ &{}= \cosh^2 t. \end{aligned} \]

Agora seguimos co vector normal: \[ \begin{aligned} (\textbf{x}_t\times \textbf{x}_{\theta})(t, \theta) &{}= \begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\ \sinh t \cos\theta & \sinh t \sin \theta & 1 \\ -\cosh t \sin\theta & \cosh t \cos\theta & 0 \end{vmatrix} \\[1ex] &{}=(-\cosh t \cos\theta, -\cosh t \sin\theta, \sinh t \cosh t), \end{aligned} \] que ten por norma \[ \lVert(\textbf{x}_t \times \textbf{x}_{\theta})(t, \theta)\rVert^2 = \cosh^2 t + \sinh^2 t \cosh^2 t = \cosh^4 t. \] Así, a aplicación de Gauss é: \[ \begin{aligned} \textbf{N}({\textbf{x}(t, \theta)}) &{} = \frac{(\textbf{x}_t \times \textbf{x}_{\theta})} {\lVert(\textbf{x}_t \times \textbf{x}_{\theta})\rVert}(t, \theta)\\ &{} = \frac{(-\cos \theta, -\sin \theta ,\sinh t )}{\cosh t}. \end{aligned} \]

Por outra parte, as segundas derivadas son: \[ \begin{aligned} \textbf{x}_{tt}(t, \theta) &{} = (\cosh t \cos \theta, \cosh t \sin\theta, 0),\\ \textbf{x}_{t \theta} (t, \theta) &{} = (-\sinh t \sin\theta, \sinh t \cos\theta, 0),\\ \textbf{x}_{\theta \theta}(t, \theta) &{} = (-\cosh t \cos\theta, -\cosh t \sin\theta, 0). \end{aligned} \] Os coeficientes da segunda forma fundamental son: \[ \begin{aligned} L_{t t}(t, \theta) &{} = \langle \textbf{x}_{t t}, \textbf{N}\circ\textbf{x} \rangle(t, \theta) = -1,\\ L_{t \theta}(t, \theta) &{} = \langle \textbf{x}_{t \theta}, \textbf{N}\circ\textbf{x} \rangle(t, \theta) = 0,\\ L_{\theta \theta}(t, \theta) &{} = \langle \textbf{x}_{\theta, \theta}, \textbf{N}\circ\textbf{x} \rangle(t, \theta) = 1. \end{aligned} \]

Finalmente podemos calcula-la curvatura de Gauss e a curvatura media en termos dos coeficientes da primeira e segunda forma fundamentais: \[ \begin{aligned} K(\textbf{x}(t, \theta)) &{} = \frac{(-1)(+1) - 0^2}{\cosh^2 t \cosh^2 t - 0^2}\\ &{} = -\frac{1}{\cosh^4 t},\\[1ex] H(\textbf{x}(t, \theta)) &{} = \frac{1}{2} \frac{(-1) \cosh^2 t + 1 \cdot \cosh^2 t - 2 \cdot 0 \cdot 0}{\cosh^2 t \cosh^2 t - 0^2}\\ &{} = 0. \end{aligned} \] Vemos que o catenoide ten curvatura de Gauss negativa, e que é unha superficie minimal.

Para o helicoide o procedemento é análogo. Neste caso simplificarémo-las notacións omitindo onde están avaliados os distintos obxectos xeométricos que calculamos. Esta será unha práctica que faremos ó longo do curso. Primeiro calculámo-las derivadas: \[ \begin{aligned} \textbf{y}_u &{} = (\cos v, \sin v, 0),\\ \textbf{y}_v &{} = (-u\sin v, u\cos v, 1),\\ \textbf{y}_{uu} &{} = (0, 0, 0), \\ \textbf{y}_{u v} &{} = (-\sin v, \cos v, 0), \\ \textbf{y}_{v v} &{} = (-u\cos v, -u\sin v, 0). \end{aligned} \]

Agora calculámo-la aplicación de Gauss: \[ \begin{aligned} \textbf{y}_u \times \textbf{y}_v &{}= \begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ \cos v & \sin v & 0\\ -u\sin v & u\cos v & 1 \end{vmatrix}\\ &{}=(\sin v, -\cos v, u), \\ \lVert\textbf{y}_u \times \textbf{y}_v \rVert^2 &{}= 1 + u^2,\\[1ex] \textbf{N}\circ\textbf{y} &{}= \frac{(\sin v , -\cos v , u)}{\sqrt{1 + u^2}}. \end{aligned} \]

Seguidamente calculámo-los os coeficientes da primeira e da segunda forma fundamental: \[ \begin{aligned} g_{u u} &{}=\langle\mathbf{y}_u,\mathbf{y}_u\rangle = 1, \\ g_{u v} &{}=\langle\mathbf{y}_u,\mathbf{y}_v\rangle = 0, \\ g_{v v} &{}=\langle\mathbf{y}_v,\mathbf{y}_v\rangle = 1 + u^2,\\[1ex] L_{u v} &{}=\langle\mathbf{y}_{uu},\mathbf{N}\circ\mathbf{y}\rangle = 0, \\ L_{u v} &{}=\langle\mathbf{y}_{uv},\mathbf{N}\circ\mathbf{y}\rangle = -\frac{1}{\sqrt{1 + u^2}}, \\ L_{v v} &{}=\langle\mathbf{y}_{vv},\mathbf{N}\circ\mathbf{y}\rangle = 0. \end{aligned} \]

Só resta calcula-la curvatura de Gauss e a curvatura media empregando os coeficientes da primeira e segunda forma fundamental: \[ \begin{aligned} K\circ\textbf{y} &{} = \frac{0 \cdot 0 - \left(\frac{-1}{\sqrt{1 + u^2}}\right)^2}{1 \cdot (1 + u^2) - 0^2} \\ &{}= -\frac{1}{(1 + u^2)^2},\\[1ex] H\circ\textbf{y} &{}= \frac{1}{2} \frac{0 \cdot (1+ u^2) + 0 \cdot 1 - 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + u^2}} \cdot 0}{1 + u^2}\\ &{} = 0. \end{aligned} \] En consecuencia, o helicoide tamén ten curvatura de Gauss negativa e é unha superficie minimal.

O seguinte apartado é ver que a aplicación dada induce unha isometría local. Sexa $U=V=\R\times(-\pi,\pi)$. Consideramos $F\colon\mathbf{y}(V)\to\mathbf{x}(U)$ definida como \[ F(\mathbf{y}(u,v))=\mathbf{x}(\arcsinh u,v). \] (O difemorfismo non é global xa que os abertos non son toda a superficie; poderíanse coller outros abertos distintos que recubrisen outras porcións da superficie, pero imos simplemente quedarnos con estes para as contas que seguen.)

Vexamos que $F$ é unha isometría. Para iso temos que ver que é un difeomorfismo e que satisfai \[ \begin{aligned} \langle(F\circ\mathbf{y})_i,(F\circ\mathbf{y})_j\rangle &{}=\langle (\textup{d}F\circ\mathbf{y})(\mathbf{y}_i), (\textup{d}F\circ\mathbf{y})(\mathbf{y}_j)\rangle\\ &{}=\langle \mathbf{y}_i,\mathbf{y}_j\rangle, \end{aligned} \] para todo $i,j\in\{u,v\}$.

O feito de que $F$ é un difeomorfismo séguese facilmente de que a aplicación, escrita en coordenadas, é precisamente $(\mathbf{x}^{-1}\circ F\circ\mathbf{y})(u,v)=(\arcsinh u, v)$, e ámbalas dúas coordenadas son difeomorfismos. (Nótese que $\sinh t=(e^t-e^{-t})/2$ é un difeomorfismo de $\R$ en $\R$.)

Finalmente vemos que $F$ preserva a primeira forma fundamental. Primeiro calculamos \[ \begin{aligned} (F \circ \textbf{y})(u, v) &{}=\textbf{x}(\arcsinh u, v) \\ &{}= (\cosh(\arcsinh u)\cos v, \cosh(\arcsinh u)\sin v, \arcsinh u) \\ &{}= \bigl(\sqrt{1 + u^2} \cos v, \sqrt{1 + u^2} \sin v, \arcsinh u\bigr). \end{aligned} \] Agora derivamos, \[ \begin{aligned} (F \circ \textbf{y})_u &{}= \left(\frac{u}{\sqrt{1 + u^2}} \cos v, \frac{u}{\sqrt{1 + u^2}} \sin v, \frac{1}{\sqrt{1 + u^2}}\right)\\ &{}= \frac{1}{\sqrt{1 + u^2}} (u \cos v, u\sin v, 1),\\[1ex] (F \circ \textbf{y})_v &{} = \bigl(-\sqrt{1 + u^2} \sin v, \sqrt{1 + u^2} \cos v, 0\bigr). \end{aligned} \] Por último, comprobamos que se preserva o producto escalar: \[ \begin{aligned} \langle (F \circ \textbf{y})_u, (F \circ \textbf{y})_u\rangle &{}= 1 = g_{u u}=\langle\mathbf{x}_u,\mathbf{x}_u\rangle,\\ \langle (F \circ \textbf{y})_u, (F \circ \textbf{y})_v \rangle &{}= 0 = g_{u v} = \langle\mathbf{x}_u,\mathbf{x}_v\rangle,\\ \langle (F \circ \textbf{y})_v, (F \circ \textbf{y})_v \rangle &{}= 1 + u^2 = g_{v v}=\langle\mathbf{x}_v,\mathbf{x}_v\rangle. \end{aligned} \] En consecuencia, a aplicación $F$ é unha isometría.

Sexan $S$ una superficie e $\alpha \colon I \to S$ unha recta pasando por un punto $p \in S$, é dicir, $\alpha(t) = {p + tv} \in S$ para todo $t \in I$, con $v \in T_pS$.

Como $\textbf{N}_{\alpha(t)}$ é normal á superficie $S$, e $\alpha'(t)$ é tangente a $S$ temos $\langle \textbf{N}_{\alpha(t)}, \alpha'(t) \rangle = 0$ para todo $t$. Derivando este producto escalar en $t=0$ obtenemos \[ \begin{aligned} 0 &{}=\langle d\textbf{N}_{\alpha(0)}(\alpha'(0)), \alpha'(0) \rangle + \langle \textbf{N}_{\alpha(0)}, \alpha''(0) \rangle \\ &{}= \langle d\textbf{N}_p(v), v \rangle\\ &{} = \kappa_n(p, v), \end{aligned} \] onde o termo da última igualdade se corresponde coa curvatura normal en $p$ na dirección de $v$. O feito de que haxa unha curvatura normal nula significa que as curvaturas principais teñen signos distintos. Por completitude veremos por que isto é certo.

Consideremos que $\{e_1, e_2\}$ son as direcciones principais en $p$ e que $\kappa_1(p)$ e $\kappa_2(p)$ son as súas respectivas curvaturas principais. Recordemos que polo teorema espectral temos garantido que as direcciones principais son ortogonais entre si e que as curvaturas principais toman valores reais. Podemos entón escribi-lo vector $v$ na forma $v = v_1 e_1 + v_2 e_2$, $v_1,v_2\in\R$, co que obtemos \[ \begin{aligned} 0 &{}=\langle d\textbf{N}_p(v), v \rangle\\ &{}=\langle d\textbf{N}_p(v_1 e_1 + v_2 e_2), v_1 e_1 + v_2e_2 \rangle\\ &{}=\langle v_1 \kappa_1(p) e_1 + v_2 \kappa_2(p) e_2, v_1 e_1 + v_2 e_2 \rangle\\ &{}= \kappa_1(p) v_1^2 + \kappa_2(p) v_2^2, \end{aligned} \] de onde deducimos que $\kappa_1(p)$ y $\kappa_2(p)$ deben ter distinto signo, é dicir $K(p) = \kappa_1(p)\kappa_2(p) \leq 0$.

Nunha superficie regrada $S$, para calquera punto $p \in S$ existe unha recta $\alpha \colon I \to S$ que pasa por ese punto, co que deducimos que a curvatura de Gauss en tódolos puntos de $S$ debe ser menor o igual ca $0$.

Non, por exemplo a esfera de radio $1$ e o cilindro de radio $1$ son tanxentes ó longo da curva $\alpha(t) = (\cos t, \sin t, 0)$, pero a esfera ten curvatura positiva e o cilindro nula.

Non. Por exemplo, o plano e o cilindro son localmente isométricos, pero o plano ten curvatura media constatemente igual a cero, mentres que o cilindro ten curvatura media constante e distinta de cero.

Contestamos separadamente cada apartado:

1. Se considerámo-lo determinante da primeira forma fundamental dada polos coeficientes anteriores, tense que $g_{11}g_{22} - g_{12}^2 = 2\cdot 5-6^2 = -26 < 0$. Disto deducimos que non pode haber tal superficie xa que a primera forma fundamental debe ser definida positiva.
2. Polo teorema egregium de Gauss, $K$ depende só da primeira forma fundamental e das súas derivadas, co que deducimos que $K$ depende exclusivamente da variable $u$. Agora ben, se facémo-lo cálculo da curvatura de Gauss empregando a segunda forma fundamental chegamos a que \[ K = \frac{uv-0^2}{u-0^2} = v, \] que depende de $v$ e non de $u$, co que non pode existir esta superficie.