Topoloxía dos espazos euclidianos

Prof. Xosé M. Masa Vázquez
 

 

M

A

N

U

A

L

   
 

2.8  

Definición.- Dise que unha sucesión {xn} nun espazo X é unha sucesión de Cauchy se dado un número real positivo e existe un enteiro n0 tal que se n,m≥ n0, daquela d(xn,xm)< e.

Proposición.- Toda sucesión converxente é de Cauchy.

Lema.-O conxunto de puntos dunha sucesión de Cauchy é limitado.

Lema.- Toda subsucesión dunha sucesión de Cauchy é de Cauchy.

Proposición.- Sexa {xn} unha sucesión de Cauchy en X. Se a sucesión ten unha subsucesión converxente, daquela ela mesma é converxente.

Proposición.- Sexa {xn} unha sucesión en X. Se o conxunto formado polos puntos da sucesión ten un punto de acumulación, daquela existe unha subsucesión converxente a este punto.

Corolario.- Se o conxunto de puntos dunha sucesión de Cauchy ten un punto de acumulación, entón a sucesión converxe a este punto.

   

2. Converxencia

2.1  Sucesións

2.2  Converxencia de sucesións

2.3  Reducción da converxencia á de sucesións numéricas

2.4  Subsucesións

2.5  Converxencia e topoloxí a

2.6  Puntos de acumulación

2.7  Caracterización dos conxuntos pechados

2.8  Sucesións de Cauchy

2.9  A completitude de R

2.10  Completitude de Rp

2.11  Teorema de Bolzano-Weierstrass