4  En Análise estudouse que unha función real continua con dominio un intervalo pechado alcanza o máximo e o mínimo. Esta importante propiedade non é exclusiva de estas aplicacións, vai ser certa en moitas situacións comúns. O concepto de compacidade permite dar a resposta máis xeral.

Tamén se estudou que, na situación considerada, a función alcanza todos os valores intermedios. A conexidade vai dar a resposta máis xeral. Formaliza unha idea intuitivamente simple, que resulta efectivamente simple en R, mais moito menos previsíbel en dimensións superiores.

Émile Borel (1871-1938), discípulo de Hermite, foi profesor en París e un dos matemáticos máis influíntes do seu tempo. Probou que toda cobertura aberta enumerábel dun intervalo pechado admite unha subcobertura finita.