Problemas de repaso de curvas e superficies

Calcula-las curvaturas de Gauss e media do catenoide, parametrizado como \[ \mathbf{x}(t,\theta)=(\cosh t\cos\theta,\cosh t\sin\theta,t), \] e do helicoide, parametrizado como \[ \mathbf{y}(u,v)=(u\cos v,u \sin v, v). \] Comprobar que son superficies minimais ($H=0$). Probar que a aplicación $(u,v)\mapsto(\mathop{\rm arcsinh} u, v)$ define unha isometría local.

Mostrar que se unha superficie contén unha recta, entón a curvatura de Gauss nos puntos desa recta é menor ou igual a cero. Como consecuencia, mostrar que se $S$ é unha superficie regrada, entón $K\leq 0$ en tódolos puntos.

Calcula-la curvatura de Gauss dun toro de revolución \[ \mathbf{x}(t,\theta)=\left( (R+r\cos t)\cos\theta,(R+r\cos t)\sin\theta,r\sin t \right), \] de radios $0<r<R$. ¿En que puntos a curvatura de Gauss vale cero?

Mostrar que se unha superficie é tanxente a un plano ó longo dunha curva, entón a curvatura de Gauss é cero nos puntos desa curva.

Se dúas superficies arbitrarias son tanxentes ó longo dunha curva, ¿teñen a mesma curvatura de Gauss nos puntos desa curva?

Dadas as superficies $S_1$ e $S_2$ parametrizadas por \[ \begin{aligned} \mathbf{x}(x_1,x_2) &{}=(x_1\cos x_2,x_1\sin x_2, x_2),\\[1ex] \mathbf{y}(u,v) &{}= ((2+\sin v)\cos u,(2+\sin v)\sin u,v), \end{aligned} \] ¿son localmente isométricas?

Se dúas superficies son localmente isométricas, ¿entón as súas curvaturas medias son iguais en puntos correspondentes?

Dadas as superficies \[ \begin{aligned} S_1&{}=\{ (x,y,0)\in\mathbb{R}^3 : x^2+y^2<1\},\\[1ex] S_2&{}=\{ (x,y,0)\in\mathbb{R}^3 : x^2+y^2<2\}, \end{aligned} \] mostrar que o difeomorfismo $(x,y,0)\in S_1\mapsto (2x,2y,0)\in S_2$ preserva a curvatura de Gauss pero non é unha isometría.

Comprobar que o helicoide parametrizado como $\mathbf{x}(u,v)=(u \cos v,u\sin v,v)$ e a superficie de revolución determinada pola función logaritmo neperiano $\mathbf{y}(u,v)=(u\cos v,u\sin v,\log u)$ teñen a mesma curvatura de Gauss $K(u,v)=-\frac{1}{(1+u^2)^2}$. Mostrar que non existe ningunha isometría local entre ambas superficies.

Sexa $S$ unha superficie con primeira forma fundamental \[ \begin{aligned} g_{11}(u,v) &{}=1+v^2, &g_{12}(u,v) &{}=u v, &g_{22}(u,v) &{}=1+u^2. \end{aligned} \] Calcula-la súa curvatura de Gauss.

Considérese a superficie parametrizada por $\mathbf{x}(u,v)=(u,v,u^2+v^3)$.

1. Calcula-la súa curvatura de Gauss.
2. ¿Pode haber algunha dirección no punto $p=(1,1,2)$ onde a curvatura normal sexa cero?
3. ¿Poderíase decidir se se trata dunha superficie reglada?

Razoa se pode existir algunha superficie regular parametrizada por $\mathbf{x}(u, v)$ de forma que

1. a primeira forma fundamental ($g_{ij}(u,v)$) está dada por \[ \begin{aligned} g_{11}(u, v) &{}= 2, &g_{22}(u, v) &{}= 5, &g_{12}(u, v) = &6, \end{aligned} \]
2. a primeira e segunda formas fundamentais ($g_{ij}(u,v)$ e $L_{ij}(u,v)$) veñen dadas por \[ \begin{aligned} g_{11}(u, v) &{}= 1, &{}g_{12}(u, v) &{}= 0, &g_{22}(u, v) &{}= u,\\[1ex] L_{11}(u, v) &{}= u, &{}L_{12}(u, v) &{}= 0, &L_{22}(u, v) &{}= v. \end{aligned} \]