Teoría global de superficies

O obxectivo desta materia é afondar na xeometría intrínseca das superficies no espacio, é dicir, naquelas propiedades da superficie que en realidade non dependen de que sexan un subconxunto de $\R^3$.

As nocións máis centrais sobre as que pivota esta materia son, por un lado, a de xeodésica, e por outro, o teorema de Gauss-Bonnet.

As xeodésicas pretenden xeneraliza-lo concepto de liña recta que temos no plano; estas son curvas sen aceleración que ademais minimizan a distancia entre dous puntos do plano. Parte da materia consiste en defini-lo concepto de aceleración nunha superficie, e posteriormente en buscar ferramentas matemáticas que nos permitan relaciona-las xeodésicas coa distancia intrínseca nunha superficies, é dicir, a distancia que medirían os habitantes da superficie se non fosen conscientes de que esta é un subconxunto do espacio.

O Teorema de Gauss-Bonnet pode entenderse como unha xeneralización do axioma das paralelas de Euclides. É un importante resultado que relaciona un concepto intríseco da superficie como é a súa curvatura de Gauss, cun concepto global, a súa topoloxía, a través da característica de Euler.

Contidos

0. Repaso de nocións básicas de curvas e superficies regulares

1. Orientación de superficies

   • Campos de vectores tanxentes e normais a unha superficie regular.
   • Orientabilidade. Atlas orientados. Caracterización da orientabilidade das superficies regulares. Bases orientadas.

2. Derivada covariante e xeodésicas

   • Derivada covariante. Campos de vectores paralelos.
   • Xeodésicas: definición e exemplos. Existencia e unicidade das xeodésicas nunha superficie.
   • Curvatura xeodésica.
   • Transporte paralelo dun vector tanxente ó longo dunha curva.

3. A aplicación exponencial

   • Aplicación exponencial. Coordenadas normais e coordenadas polares xeodésicas. Lema de Gauss.
   • Carácter minimizante das xeodésicas.

4. Teorema de Gauss-Bonnet

   • Ángulo de rotación dunha curva plana regular a cachos. A curvatura xeodésica nunha parametrización ortogonal. Teorema local de Gauss-Bonnet.
   • Triangulacións e característica de Euler-Poincaré. Teorema global de Gauss-Bonnet.
   • Consecuencias do Teorema de Gauss-Bonnet.

5. Superficies compactas en $\R^3$. A rixidez da esfera

   • Lema de Hilbert. Teorema de Liebmann. Teorema da Rixidez da esfera.

Problemas

0. Repaso de curvas e superficies.

1. Campos de vectores e orientación.

2. Derivada covariante e transporte paralelo.

3. Aplicación exponencial.

4. Teorema de Gauss-Bonnet.

5. Rixidez da esfera.

6. Exames de anos anteriores.

Outros recursos

Animación dunha xeodésica na terra.

Bibliografía básica

• M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1976.
• M. A. Hernández Cifre, J. A. Pastor González, Un curso de Geometría Diferencial (2ª edición). CSIC, Madrid, 2019.

Créditos

As páxinas web están creadas con html5 e css3. Para as fórmulas matemáticas empregouse MathJax. As imaxes bidimensionais están creadas directamente en svg.

As imaxes tridimensionais están programadas en javascript empregando a librería three.js. Algúns cálculos están feitos coa librería math.js e os menús con lil-gui. As texturas da terra están sacadas de JHT's Planetary Pixel Emporium e as das paisaxes de Poly Haven.

Os tests automatizados están feitos con Mocha e Chai.

Tamén se empregou Mathematica para xenerar varios debuxos tridimensionais.

Finalmente, o control de versión realizaouse con git e a programación de carácter xeral con python.