Problemas de rixidez da esfera

Calcula-la curvatura de Gauss da superficie parametrizada por\[ \mathbf{x}(t,\theta) =\Bigl( b\cos\Bigl(\frac{t}{a}\Bigr)\cos\theta,\, b\cos\Bigl(\frac{t}{a}\Bigr)\sin\theta,\, a E\Bigl(\frac{t}{a}\,\Big\vert\,\frac{b^2}{a^2}\Bigr) \Bigr) \] onde \[ E(t\mid m)=\int_0^t\sqrt{1-m\sin^2 u}\,\textup{d}u \] é unha integral elíptica de segunda clase.

Sexa $S$ unha superficie regular, conexa e compacta con curvatura de Gauss positiva e curvatura media constante. Probar que $S$ é unha esfera.

Sexa $S$ unha superficie regular, conexa e compacta con curvatura de Gauss positiva e tal que o cociente $K/H$ é constante. Probar que $S$ é unha esfera.