Problemas para as clases interactivas

Nunha mostra de tamaño 30 mediuse a porcentaxe de aumento de alcohol en sangue tras beber catro cervexas. Obtívose $\overline{X}=41.2$ (media) e $s=2.1$ (cuasi-desviación típica).

1. Calcular un intervalo de confianza do 90% para a porcentaxe media de aumento en tódalas persoas que beben catro cervexas;
2. Se se calcula un intervalo de confianza do 95% para $\mu$, ¿será máis ou menos amplo có anterior?

Milton 6.3.7

As granxas de patos contaminan a agua debido ó nitróxeno en forma de "ácido úrico". A seguinte é unha mostra aleatoria de nove observacións da variable $X$, número de kilos de nitróxeno producidos por granxa e día.

Supoñendo que $X$ é normal, construír un intervalo de confianza do 99% para a media poboacional $\mu$.

Milton 6.3.9

A calor parece afecta-la mobilidade dos caracois. En 20 caracois sometidos a unha temperatura de 29°C observamos unha distancia media percorrida de $\overline{X}=4.855$cm, con $s_{n-1}=0.7178$. Dar un intervalo de confianza ($\alpha=5\%$) para a distancia media percorrida por un caracol.

Milton 6.3.6 p. 222

Estas son as alturas (en metros) de vinte piñeiros da especie "Pinus strobus". Estima-la media desa especie de piñeiros cun nivel de confianza do 95%.

Milton 6.3.1

Queremos estima-lo peso medio ó nacer (en Kg) de fillos de mulleres adictas á heroína. Nun estudio previo obtívose que $\sigma=2.5$. Queremos deseña-lo experimento de modo que o nivel de confianza sexa do 95%, e que o erro de estimación non supere 1Kg. ¿Que tamaño de mostra necesitamos?

Milton 6.6.1 p. 236

No río Mississippi estudouse en 61 lugares a variable $X$, anchura de terreno inundable, obténdose $\overline{X}=3400$ metros e $s_{n-1}=100$ metros. Dar un intervalo de estimación para a desviación típica de $X$ cun nivel de confianza do 90%.

Milton 7.1.7 p. 253

Nun reconto no microscopio contabilizáronse 200 leucocitos, dos cales 125 eran neutrófilos. Dar un intervalo de confianza do 90% para a proporción de neutrófilos en sangue.

Milton 8.2.3 p. 266

Nun estudo sobre obesidade infantil averíguase que a idade media de inicio da enfermidade dunha mostra de 26 nenos é de 4 anos, cunha desviación típica mostral de 1.5 anos. Determinar un intervalo de confianza do 95% para a desviación típica da poboación.

Milton Exemplo 7.1.6

¿Que tamaño de mostra faría falla para estima-la proporción de mortes debidas a un problema cardíaco, se traballamos cun nivel de significación do 5%, e non queremos que o erro de estimación supere o 2%?

Milton 8.3.2 p. 270

Un investigador médico quere estima-lo nivel medio de colesterol en homes de idade avanzada. A estimación debe ter unha precisión de 6mg/dl ou menos, cun 95% de confianza. Ademais, o investigador cre, por estudos previos, que a desviación típica do colesterol na poboación ronda os 40mg/dl. ¿Que tamaño de mostra debe tomar?

Samuels 6.4.2

Nun estudo atopouse que 40 de 400 estudantes eran zurdos. Construír un intervalo de confianza do 90% para a proporción de estudantes zurdos na poboación.

Samuels 9.3.1

Unha bodega produce 720000 botellas de viño cada ano e desexa estima-la proporción de botellas que teñen o corcho defectuoso (o viño estropéase se hai un fallo no corcho). Nun estudo previo calcúlase que esta proporción ronda o 4%, pero agora queremos, cun nivel de confianza do 90%, que o erro de estimación non supere o 1%. ¿Cantas botellas de viño debemos comprobar?

Samuels 9.S.6

Os votos en contra da construción dunha presa nunha mostra de 500 persoas foi de 270. Estima-la proporción de persoas que están en contra en toda a poboación, cun nivel de confianza do 95%.

Milton Exemplo 8.4.1

Sospéitase que o insecticida DDT provoca diminución no grosor das cáscas dos ovos dos paxaros. Para combrobar isto, alimentouse a 16 gabiáns cunha mistura que contiña 15ppm de DDT, e atopouse unha diminución do grosor do 8%. A desviación típica mostral foi de $s=0.05$. Contrasta-la hipótese de que houbo unha diminución no grosor en toda a poboación (nivel de confianza do 95%).

Milton 6.5.4 p. 233

Realizouse un experimento para estuda-lo efecto do exercicio físico no nivel de colesterol de pacientes obesos. En 80 pacientes sometidos a un réxime específico de actividade, observouse unha diminución media do nivel de colesterol de $\overline{X}=27$ puntos. A desviación estándar foi de $s=18$. ¿Pode afirmarse, cun nivel de confianza do 90%, que ese réxime provoca, en media, unha diminución superior a 25 puntos?

Milton 6.5.7 p. 234

A concentración media de dióxido de carbono no aire é do 0.035%. Preténdese demostrar que inmediatamente por riba da superficie do chan dita concentración é maior. Analizáronse 144 mostras de aire seleccionado aleatoriamente e tomadas á distancia de 30cm do chan. Resultou unha media mostral do 0.09% e unha cuasi-desviación típica mostral do 0.25%. ¿Cal é o valor P do contraste? ¿Comprobouse estatisticamente o argumento establecido?

Milton 6.5.5 p. 233

En certa especie de vagalumes, a luz que producen consta dun escintileo curto seguido dun período de repouso. Quérese probar que o período de repouso ten unha duración media de menos de catro segundos. Nunha mostra de 16 insectos obtivemos unha media de 3.77 segundos, con $s=0.30$ segundos. Por outro lado, dámonos conta de que un erro de tipo I non ten consecuencias fatais, así que fixamos un $\alpha=10\%$ bastante alto. ¿Apoian os datos experimentais a nosa suposición sobre o escintileo?

Milton 6.5.7 p. 232

Ó estuda-lo crecemento de abetos, sábese que a varianza poboacional acostuma ser $1.56cm^2$. Non obstante, en 50 árbores crecidos en condicións de seca observamos unha cuasi-desviación típica de $0.375$cm. ¿Afectou a seca ó parámetro $\sigma$? Dar un intervalo de confianza para a desviación típica da poboación. Utilizar en todo o problema un nivel de confianza do 95%.

Milton 7.2.4 p. 256

A concentración sanguínea de calcio nos mamíferos acostuma ser de 6mg/100ml. A desviación típica debe ser de 1mg/100ml, xa que unha variabilidade maior ocasiona trastornos de coagulación. Nunha serie de nove probas realizadas a un paciente, atopouse unha concentración media de 6.2 e unha cuasi-desviación típica de 2. Tomando un nivel de significación $\alpha=0.05$, ¿hai evidencia de que a desviación típica sexa maior da normal?

Milton 7.2.2 p. 256

Estímase xeralmente que o 90% dos enfermos de cancro de pulmón morren no prazo de 3 anos. Nun estudo recente no que se proban uns novos tratamentos, atopouse que 128 pacientes morreron dun total de 150 enfermos. ¿Pode dicirse que hai probas suficientes de que o emprego dos novos métodos de tratamento reduciron a taxa de falecementos?

Milton 8.4.4 p. 273

Un 20% dos enfermos de corazón tratados cronicamente con digoxina sofre unha reacción adversa. Para evitalo, a 30 pacientes asocióuselles outro medicamento, e conseguiuse que só tres tivesen a reacción. ¿Pode afirmarse que o tratamento é eficaz cun nivel de confianza do 99%?

Milton 9.7

O método habitual para trata-la leucemia mieloblástica aguda consiste en somete-lo paciente a quimioterapia intensiva no momento do diagnóstico. Historicamente, isto produciu unha taxa de remisión do 70%. Estudando un novo método de tratamento utilizáronse 50 voluntarios. ¿Cantos dos pacientes deberían ter remitido para que os investigadores puidesen afirmar, con nivel de significación $\alpha=0.025$, que o novo método produce remisións máis altas có antigo?

Estase probando a eficacia dun tipo de exercicio para mellora-los síntomas da artrite reumatoide. O grupo no que se proba dito tratamento é de 160 pacientes. Para un nivel de significación do 2,5%, ¿cantos pacientes terían que mellorar para que se poida afirmar que a porcentaxe de pacientes que melloran é superior ó 50%?

Comprobouse o peso de ovos de tartaruga en dúas illas diferentes. Suponse que a variable é normal. Á vista dos datos obtidos en dúas mostras aleatorias, ¿hai evidencia de que os ovos na illa "Malabar" son máis pesados cós da illa "Grande-Terre" cun nivel de significación do 1%?

Datos da illa "Grande-Terre": Tamaño da mostra $n_1=31$; peso medio $\overline{X}_1=64.0$g; cuasi-desviación típica $s_1=6.5$g.

Datos da illa "Malabar": Tamaño da mostra $n_2=148$; peso medio $\overline{X}_2=82.7$g; cuasi-desviación típica $s_2=3.6$g.

(Facer un contraste de hipóteses para a igualdade das varianzas para poder determinar se podemos asumir que ambas sexan iguais.)

Milton 9.4.3 p. 311

Ó estuda-la velocidade de voo de dúas especies de paxaros, obtivémo-los seguintes datos:

• (Haematopus palliatus): $n_1=9$, $\overline{X}_1=26.05$, $s_1=6.34$;
• (Pelecanus occidentalis): $n_2=12$, $\overline{X}_2=30.19$, $s_2=3.20$;

Face-lo contraste necesario para saber se as varianzas poboacionais se poden supoñer iguais. ¿Hai evidencia de que a velocidade de voo das dúas especies de paxaros sexa diferente? (Para todo o problema, tomar un nivel de confianza do 95%.)

Milton 9.2.1 p. 298

Estudouse nunha mostra de $n_1=33$ homes novos fumadores a idade media á que empezan a fumar, obténdose $\overline{X}_1=11.3$ anos. A cuasi-varianza mostral foi de 4 anos. O mesmo estudo en mozas deu lugar ós seguintes datos: $n_2=14$, $\overline{X}_2=12.6$, $s_2^2=3.5$. Pídese, cun nivel de significación $\alpha=5\%$:

1. Facer unha proba $F$ para concluír que podemos supoñer $\sigma_1^2=\sigma_2^2$;
2. ¿Hai evidencia estatística de que os mozos empezan a fumar antes cás mozas?
3. Dar un intervalo de estimación para a diferencia de medias poboacionais entre mozos e mozas.

Milton 9.3.11 p. 309

Un laboratorio quere compara-los efectos secundarios dun medicamento novo cos do producto da competencia. Usaremos un nivel de significación do 1%. Obtivéronse os seguintes datos sobre a porcentaxe de persoas que presentaban diarrea:

1. ¿Podemos afirmar que hai evidencia significativa de que as porcentaxes son diferentes?
2. Dar un intervalo de confianza para a diferencia de porcentaxes.

Milton 8.6.6 p. 285

En 1970 fixéronse 759 análises de sangue e atopáronse 46 casos de infección. En 1975 outro estudo semellante descubriu 109 infeccións en 838 análises. Baseándose nestas dúas mostras, ¿podemos estar seguros de que a proporción de casos de infección aumentou en máis de 6 puntos porcentuais neses cinco anos? (Usar nivel de confianza do 90%.)

Milton 8.6.4

A partir dos corenta anos, o cancro de mama pode detectarse a través dunha mamografía. Comprobamos que en 31 mulleres novas afectadas (idade 40-49 anos) houbo 6 casos descubertos a través de mamografía. Por outra parte, nun grupo de 101 mulleres de máis idade, a mamografía foi eficaz en 38 casos. Cun nivel de confianza do 95%, ¿podemos afirmar que a mamografía é menos eficaz nas mulleres novas?

Milton 8.6.3 p. 285

Para ver se un medidor portátil de glucosa é útil para os diabéticos, mediuse para cada paciente o nivel de glucosa en sangue antes de aprender a usalo, e unhas semanas despois. Nunha mostra aleatoria de 36 individuos atopouse unha diferencia de 2.78mmol/l entre "antes" e "despois", con cuasi-desviación típica das diferencias igual a 6.05. ¿Quere dicir isto que o medidor é efectivo para axudar a reduci-los niveis de glucosa?

Milton 9.5.3 p. 319

Os datos de temperatura en 1000 estacións meteorolóxicas en todo o mundo deron unha temperatura media de 57 graos Farenheit en 1950, e de 57.6 en 1988, con $s_D=4.1$. ¿Quere isto dicir que a temperatura media do globo aumentou? (Emprega-lo valor $P$.) Dar un intervalo para o aumento global medio (para un nivel de confianza do 90%).

Milton 9.5.5 p. 320

Para que un peixe sobreviva, a cantidade de osíxeno disolto na auga non debe ter unha desviación típica maior cá 1.2 partes por millón. Tomamos mostras de auga en 25 lugares aleatoriamente escollidos dun lago e obtemos $s=1.7$ppm. ¿Evidencia isto que a variabilidade do osíxeno aumentou por riba do parámetro aceptable $\sigma=1.2$?

Milton 7.2.3 p. 256

Nun estudo sobre rexeneración de células nerviosas en monos rhesus mediuse o contido en creatinina fosfato na parte esquerda e na parte dereita da espiña dorsal (medido en mg de CF por cada 100g de tecido). Para un nivel de significación do 10%, ¿existe evidencia significativa dunha diferencia na cantidade de CF entre os dous lados? Os datos son os seguintes:

Samuels p. 333

Crese que a maioría dos fumadores empezan a fumar despois dos 18 anos. Nunha mostraxe con 60 individuos, atopouse que o 49% empezou a fumar despois desa idade.

1. Decidir se hai evidencia de que na poboación a proporción de fumadores que empeza despois dos 18 é menor có 50% (cun nivel de significación do 1%).
2. Explica-las consecuencias económicas e sanitarias de cometer un erro de tipo I ou un erro de tipo II.

Milton 6.4.6 p. 226

Existe a teoría de que a vitamina C é beneficiosa no tratamento do cancro. Os que a defenden din que hai unha melloría superior ó 4% de casos. Fixemos dous grupos independentes de 75 individuos cada un. Ós primeiros démoslle 10g diarios de vitamina C; ós outros, nada. Ó cabo de catro semanas, no primeiro grupo 47 pacientes presentaron algunha melloría, mentres que este número foi soamente de 43 no segundo grupo. Pídese face-lo contraste $H_0\colon p_1-p_2\leq 0.04$ e interpreta-lo resultado (emprega-lo valor P).

Milton 8.6.1 p. 280 e 8.6.2 p. 281

Estase probando a eficacia de dous tipos de exercicio para mellora-los síntomas da artrite reumatoide. O primeiro tratamento (T1) foi probado en 150 pacientes con esta enfermidade obtendo que 87 deles melloran tras un mes de práctica. O segundo tratamento (T2) foi probado en 160 pacientes dos que 72 melloraron tras un mes de práctica. ¿Podemos asegurar que hai evidencia significativa de que a proporción de pacientes que melloran co tratamiento T1 é superior á do T2? Realiza-lo correspondente contraste de hipóteses.

Investígase a eficacia dunha nova vacina contra a gripe. Elíxese unha mostra de 900 persoas, e clasifícanse segundo que foran ou non vacinadas, e segundo contraeran a gripe durante o último ano ou non. Pídese, cun nivel de confianza do 95%, decidir se hai asociación ou non entre as dúas variables.

Milton 12.1.2 p. 449

Cremos que existe relación entre o número de cloroplastos das follas das árbores e o nivel de $SO_2$ no aire. Selecciónanse 60 árbores, e clasifícanse en función do nivel de dióxido de azufre da súa zona e o nivel de cloroplastos das súas follas. Obtéñense os seguintes datos:

1. ¿Trátase dunha proba de independencia ou de homoxeneidade?
2. ¿Que conclusións poden sacarse dos datos? Enuncia a hipótese nula apropiada e razoa en función do valor P obtido.

Milton 12.2.6 p. 457

Co obxectivo de provoca-la unión dos ósos en fracturas, aplícanse campos electromagnéticos pulsantes. Nunha mostra de 62 fracturas de tibia, 26 de húmero, e 18 de fémur, observouse que o tratamento só tivo éxito en 34, 16, e 10 delas, respectivamente.

• Construí-la táboa de continxencia axeitada.
• Á vista dos resultados obtidos na mostra, ¿pódese concluír que o éxito do tratamento depende do tipo de óso que se está tratando?

Realízase un pequeno estudo piloto para determinar se hai asociación entre a aparición de leucemia e os antecedentes de alerxia. Selecciónase unha mostra de 19 pacientes con leucemia e outro grupo de control de 17 persoas, e determínase se hai antecedentes de alerxia ou non.

Calcula-la frecuencia esperada para cada celda e contrastar se a distribución de casos de alerxia é homoxénea nos dous grupos. Explica-la resposta baseándose no valor P do contraste.

Milton 12.1.5 p. 449

Nun estudo sobre quimioterapia no cancro de pulmón administráronse simultaneamente catro medicamentos a 16 pacientes, mentres que a outro grupo de 11 pacientes déronselle os medicamentos de xeito secuencial. Observouse unha resposta positiva ó tratamento en 11 pacientes do primeiro grupo, e en 3 dos tratados secuencialmente. ¿Proporcionan estes datos evidencia de que unha forma de tratamento é superior á outra?

Samuels 10.2.10

Realízase un estudo para estima-la relación entre o índice de obesidade $X$ e a taxa metabólica en repouso $Y$. A partir dos datos de 43 individuos obtemos

1. ¿Que taxa metabólica correspondería a un índice de obesidade $X=40$?
2. Calcular e interpreta-lo coeficiente de determinación.
3. Contrasta-lo modelo de regresión linear.

Milton 11.3.4 p. 414

A seguinte táboa recolle os datos de presións sistólicas ($P$) de cinco individuos en función da súa idade ($t$):

1. ¿Que ecuación linear nos permite estimar $P$ para un individuo de 25 anos?
2. Calcula-lo coeficiente de determinación e interpreta-lo resultado.
3. Contrasta-lo modelo de regresión linear.

Realizouse un experimento para estima-la concentración plasmática $Y$ dunha substancia a partir da súa concentración $X$ na saliva. Os datos experimentais foron:

Calcula-la recta de regresión e contrasta-lo modelo de regresión linear (ANOVA).

A cantidade de arsénico no arroz (variable $Y$, en $\mu g/kg$) parece estar relacionada coa de silicio na palla de arroz (variable $X$, en $g/kg$). Ó estudar 32 plantas obtémo-los seguintes datos:

$\overline{X}=29.85$,   $s_X=10.04$,   $\overline{Y}=122.25$   $s_Y=44.50$,   $r=-0.556$.

1. ¿Que cantidade de arsénico estimamos cando $X=12$?
2. Calcula-la varianza residual dos erros de estimación.
3. ¿Que proporción de varianza da concentración de arsénico está explicada pola relación linear co contido de silicio?

Samuels p. 505

Aplicáronse dous cuestionarios a 670 persoas: un medía o nivel de estrés ó que estiveran sometidas $X$, e o outro detectaba posibles trastornos de saúde $Y$. Ó calcula-lo coeficiente de correlación de Pearson obtívose $r=0.24$. ¿É compatible este resultado coa hipótese $\rho=0$? (tomar $\alpha=5\%$)

Déronse distintas doses dunha substancia velenosa a sete grupos de 26 ratos, e observáronse os seguintes resultados:

1. Calcula-la ecuación da recta de mínimos cadrados axustada a estes datos.
2. Estima-lo número de mortes nun grupo de 26 ratos que recibiron unha dose de 7mg deste veleno.
3. Contrasta-lo modelo de regresión linear.

Lévase a cabo un estudo sobre as características corporais e o modo de actuar de levantadores de peso olímpicos. Estúdanse as variables $X$, peso corporal, e $Y$, mellor levantamento, obtendo:

1. Debuxa-la nube de puntos. Baseándose nela, ¿pódese esperar que $b$ sexa positivo ou negativo?
2. Calcular e interpreta-lo coeficiente de determinación.
3. Comproba-la idoneidade do modelo de regresión linear. Se é axeitado calcula-la liña de regresión de $X$ sobre $Y$, estima-lo mellor levantamento dun atleta que pesa 200 libras.

Milton 11.4.1